如何求解表达式sin(e) - sin(e-120°)的最大值？

Question

如何求解表达式sin(e) - sin(e-120°)的最大值是三角函数优化中的经典问题。首先，利用三角恒等式sin(A) - sin(B) = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)，可将原表达式化简为2cos(e-60°)sin(60°)。由于sin(60°)=√3/2，表达式进一步简化为√3cos(e-60°)。接下来，分析cos(e-60°)的取值范围[-1,1]，可知表达式的最大值为√3，当且仅当cos(e-60°)=1时取得，即e-60°=2kπ（k为整数）。因此，e=60°+2kπ为表达式取得最大值的条件。此问题常见技术难点在于如何正确运用三角恒等式化简及理解余弦函数的性质。

Answer 1

1. 问题概述

在三角函数优化中，求解表达式 \( \sin(e) - \sin(e-120^\circ) \) 的最大值是一个经典问题。这类问题通常涉及对三角恒等式的熟练应用以及对余弦函数性质的深刻理解。

我们可以通过以下步骤逐步分析和解决这一问题：

• 利用三角恒等式化简原始表达式。
• 进一步简化表达式并确定其取值范围。
• 结合余弦函数的性质找到最大值及其取得条件。

2. 表达式化简

根据三角恒等式 \( \sin(A) - \sin(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \)，我们可以将原始表达式 \( \sin(e) - \sin(e-120^\circ) \) 化简为：

\( 2\cos\left(\frac{e + (e-120^\circ)}{2}\right)\sin\left(\frac{e - (e-120^\circ)}{2}\right) \)

进一步计算得到：

\( 2\cos(e-60^\circ)\sin(60^\circ) \)

由于 \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，最终表达式可以简化为：

\( \sqrt{3}\cos(e-60^\circ) \)

3. 分析与求解

接下来，我们需要分析 \( \cos(e-60^\circ) \) 的取值范围。根据余弦函数的性质，\( \cos(x) \) 的取值范围为 [-1, 1]。因此，\( \sqrt{3}\cos(e-60^\circ) \) 的最大值为 \( \sqrt{3} \)，当且仅当 \( \cos(e-60^\circ) = 1 \) 时取得。

为了使 \( \cos(e-60^\circ) = 1 \)，必须满足：

\( e-60^\circ = 2k\pi \) （其中 k 为整数）

因此，表达式取得最大值的条件为：

\( e = 60^\circ + 2k\pi \)

4. 技术难点分析

此问题中的常见技术难点包括：

难点	描述
三角恒等式的正确运用	需要熟悉各种三角恒等式，并能灵活应用于具体问题。
余弦函数性质的理解	需要清楚余弦函数的周期性和取值范围，以便准确求解最大值条件。

5. 解决方案总结

通过上述分析，我们可以得出完整的解决方案流程图如下：

graph TD;
            A[原始表达式] --> B{应用三角恒等式};
            B --> C[化简为 \( \sqrt{3}\cos(e-60^\circ) \)];
            C --> D{分析 \( \cos(e-60^\circ) \) 范围};
            D --> E[确定最大值及条件];

此问题的解决过程不仅展示了三角函数的基本性质，还体现了数学建模和优化的核心思想。