询问两个正弦波叠加后的函数关系？

Question

一、背景
三相四线制供电体系中，每一相和零线之间的电压和电流看做是正弦函数描述的波。

二、我的疑问
1、相线之间的电压是什么变化波形？

2、因为两根相线之间是两个发电机的串联，它们的正弦波之间相位差是120度，那么这种串联后的输出波形是什么样的？

Answer 1

一杯年华@编程空间帮您解答，本答案结合 ChatGPT4.0和DeepSeek整理
我曾经遇到过类似的问题，在研究三相电路时，也对相线间电压波形的合成原理感到困惑。下面我来为你分析这个问题并提供解决方案。

一、问题分析

你关注的核心是三相四线制中，相位差120°的两相正弦波叠加后的电压波形。这里需要明确：

1. 三相电的基本特性：三相系统中，各相电压的表达式为：
   • 相电压A：( u_A = V_1 \sin(\omega t) )
   • 相电压B：( u_B = V_1 \sin(\omega t - 120°) )
   • 相电压C：( u_C = V_1 \sin(\omega t + 120°) )
2. 相线间电压的本质：相线间电压（如A、B线间电压）是两相电压的差值，即 ( u_{AB} = u_A - u_B )，而非简单的“串联”。

二、解决方案

方案1：三角函数恒等变换法

将 ( u_{AB} = V_1 \sin(\omega t) - V_1 \sin(\omega t - 120°) ) 用三角公式展开：
根据 ( \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} )，代入得：
[
u_{AB} = 2V_1 \cos\left(\omega t - 60°\right) \sin(60°) = 2V_1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\omega t - 60°\right) = \sqrt{3}V_1 \sin\left(\omega t + 30°\right)
]
结论：叠加后的波形仍是正弦波，幅值为 ( \sqrt{3}V_1 )，相位比A相电压超前30°。

方案2：相量法（最优方案）

原理：将正弦量用复平面上的旋转相量表示，相量的模为幅值，夹角为相位，相量差对应电压差。

1. 相量表示：
   • A相电压相量：( \dot{U}_A = V_1 \angle 0° )
   • B相电压相量：( \dot{U}_B = V_1 \angle -120° )
2. 计算线电压相量：
   [
   \dot{U}_{AB} = \dot{U}_A - \dot{U}B = V_1 \angle 0° - V_1 \angle -120°
   ]
   用几何法分析：两相量夹角为120°，作向量差时，可构成等腰三角形（两边长为 ( V_1 )，夹角120°）。根据余弦定理：
   [
   |\dot{U}{AB}| = \sqrt{V_1^2 + V_1^2 - 2V_1^2 \cos(120°)} = \sqrt{3}V_1
   ]
   相位可通过几何关系确定：线电压相量超前A相电压30°。

结论：与三角函数法一致，线电压为幅值 ( \sqrt{3}V_1 ) 的正弦波，波形仍为正弦形。

三、最优方案详解（相量法）

相量法的优势在于直观且符合工程习惯：

• 无需记忆复杂三角公式，通过向量运算直接得到幅值和相位；
• 适用于多相系统分析，如三相电路中任意两相的电压、电流叠加问题，均可通过相量加减快速求解；
• 物理意义清晰：相量的模和夹角直接对应正弦波的幅值和相位，旋转特性对应交流电的周期性。

以上分析纠正了原回答中“幅值为 ( 2V_1 )”的误区，实际线电压幅值应为 ( \sqrt{3}V_1 )。如果需要进一步验证，可以用示波器实测三相电路的线电压波形，会观察到标准的正弦曲线。希望这个解答能帮到你，若有疑问请继续留言，也请楼主采纳哦！