如何设计酉变换将矩阵变为特点形式？

Question

考虑一个在复数域行满秩r×n的矩阵A（矩阵秩r<列数n），如何找到一个酉变换或者可逆变换T使得TA具有如下形式：

希望找到的T使得集合｛j1,j2,…,jr｝中大于等于2的数最多。（一般的QR分解｛j1,j2,…jr-1｝都等于1），请求指导！

Answer 1

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解答

酉变换（Unitary transformation）是指将一个矩阵变换为另一个矩阵的过程，而这个变换保持矩阵的行列式不变。为了将矩阵A变换为特定的形式，我们可以使用QR分解和酉变换。

首先，我们可以使用QR分解将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R：

A = QR

其中，Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。

接下来，我们可以使用酉变换将矩阵R变换为一个特定的形式。我们可以使用贪心算法来选择矩阵R的行和列，以使得集合｛j1,j2,…,jr｝中大于等于2的数最多。

在Matlab中，我们可以使用以下代码来实现这个过程：

function T = design_unitary_transformation(A)
    [Q, R] = qr(A);
    r = size(R, 1);
    T = eye(size(A, 2));
    for i = 1:r
        [j, k] = find(R(i, :) > 0);
        if length(j) > 1
            T(:, j) = T(:, j) * exp(1i * angle(R(i, j)));
        end
    end
end

其中，eye(size(A, 2)) 创建一个大小为A的列向量的单位矩阵，exp(1i * angle(R(i, j))) 计算酉变换的因子。

最后，我们可以使用以下代码来验证酉变换的结果：

A = ...;  % 输入矩阵A
T = design_unitary_transformation(A);
TA = T * A;
disp(TA);

其中，TA 是酉变换后的矩阵。

注意，这个算法的时间复杂度是O(n^2)，空间复杂度是O(n)，其中n是矩阵A的列数。