如何在sklearn高斯过程中自定义Polynomial核函数并调整其参数？

Question

在使用sklearn的高斯过程时，如何自定义Polynomial核函数并调整其参数？默认情况下，sklearn提供了常见的核函数，如RBF、DotProduct等，但若需使用 Polynomial 核，该如何实现？具体问题在于，如何通过继承`Kernel`类或利用现有核函数组合，构建一个可调节degree、coef0（偏置项）和variance（方差）参数的Polynomial核？此外，在高斯过程中应用该自定义核时，如何确保模型能正确学习数据特征并优化超参数？这需要明确自定义核的语法结构以及与`GaussianProcessRegressor`的兼容性。请提供一个完整的代码示例及参数调整策略。

Answer 1

1. 问题背景与分析

在机器学习中，高斯过程（Gaussian Process, GP）是一种强大的非参数回归方法。通过核函数（Kernel Function），GP能够灵活地捕捉数据中的复杂关系。Scikit-learn 提供了多种内置的核函数，例如 RBF、DotProduct 等，但有时我们可能需要使用自定义的 Polynomial 核来适应特定的数据特征。

Polynomial 核函数的形式为：

k(x_i, x_j) = variance * (coef0 + x_i^T x_j)^degree

其中，degree 是多项式的阶数，coef0 是偏置项，variance 是方差缩放因子。为了实现这一功能，我们需要：

• 继承 `sklearn.gaussian_process.kernels.Kernel` 类或组合现有核函数。
• 确保自定义核函数与 `GaussianProcessRegressor` 兼容。
• 优化超参数以提高模型性能。

2. 自定义 Polynomial 核函数

以下是一个完整的代码示例，展示如何通过继承 `Kernel` 类来实现 Polynomial 核函数：

from sklearn.gaussian_process.kernels import Kernel, Hyperparameter
import numpy as np

class PolynomialKernel(Kernel):
    def __init__(self, degree=1.0, coef0=0.0, variance=1.0,
                 degree_bounds=(1e-5, 1e5), coef0_bounds=(1e-5, 1e5),
                 variance_bounds=(1e-5, 1e5)):
        self.degree = degree
        self.coef0 = coef0
        self.variance = variance
        self.degree_bounds = degree_bounds
        self.coef0_bounds = coef0_bounds
        self.variance_bounds = variance_bounds

    @property
    def hyperparameter_degree(self):
        return Hyperparameter("degree", "numeric", self.degree_bounds)

    @property
    def hyperparameter_coef0(self):
        return Hyperparameter("coef0", "numeric", self.coef0_bounds)

    @property
    def hyperparameter_variance(self):
        return Hyperparameter("variance", "numeric", self.variance_bounds)

    def __call__(self, X, Y=None, eval_gradient=False):
        X = np.atleast_2d(X)
        if Y is None:
            Y = X

        K = self.variance * (np.dot(X, Y.T) + self.coef0)**self.degree

        if eval_gradient:
            if not self.hyperparameter_degree.fixed and \
               not self.hyperparameter_coef0.fixed and \
               not self.hyperparameter_variance.fixed:
                dK_dDegree = K * np.log(np.dot(X, Y.T) + self.coef0)
                dK_dCoef0 = K * self.degree / (np.dot(X, Y.T) + self.coef0)
                dK_dVariance = K / self.variance
                return K, np.dstack((dK_dDegree, dK_dCoef0, dK_dVariance))
            else:
                return K, np.empty((X.shape[0], Y.shape[0], 0))
        else:
            return K

    def diag(self, X):
        return np.diag(self(X))

    def is_stationary(self):
        return False

    def clone_with_theta(self, theta):
        cloned = self.__class__(degree=theta[0], coef0=theta[1], variance=theta[2],
                               degree_bounds=self.degree_bounds,
                               coef0_bounds=self.coef0_bounds,
                               variance_bounds=self.variance_bounds)
        return cloned
    

3. 应用自定义核函数

接下来，我们将自定义的 Polynomial 核函数应用于 `GaussianProcessRegressor`：

from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import make_regression
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建回归数据集
X, y = make_regression(n_samples=100, n_features=1, noise=0.1, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 初始化 Polynomial 核函数
kernel = PolynomialKernel(degree=2, coef0=1, variance=1)

# 使用 GaussianProcessRegressor
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, n_restarts_optimizer=10, alpha=0.1)
gpr.fit(X_train, y_train)

# 预测并绘制结果
y_pred, sigma = gpr.predict(X_test, return_std=True)
plt.scatter(X_train, y_train, color='blue', label='Training Data')
plt.scatter(X_test, y_test, color='green', label='Test Data')
plt.plot(X_test, y_pred, color='red', label='Prediction')
plt.fill_between(X_test.ravel(), y_pred - sigma, y_pred + sigma, alpha=0.2, color='red')
plt.legend()
plt.show()
    

4. 参数调整策略

为了确保模型正确学习数据特征并优化超参数，可以采用以下策略：

1. 网格搜索（Grid Search）：通过遍历超参数空间找到最佳组合。
2. 贝叶斯优化（Bayesian Optimization）：利用概率模型高效探索超参数空间。
3. 交叉验证（Cross-Validation）：评估不同超参数设置下的模型性能。

以下是一个基于 `scikit-optimize` 的贝叶斯优化示例：

from skopt import gp_minimize
from skopt.space import Real
from skopt.utils import use_named_args

# 定义超参数搜索空间
space = [
    Real(1e-5, 1e5, name='degree'),
    Real(1e-5, 1e5, name='coef0'),
    Real(1e-5, 1e5, name='variance')
]

@use_named_args(space)
def objective(**params):
    kernel = PolynomialKernel(**params)
    gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=0.1)
    gpr.fit(X_train, y_train)
    return -gpr.log_marginal_likelihood_value_

# 运行贝叶斯优化
res = gp_minimize(objective, space, n_calls=20, random_state=42)
print(f"Best parameters: {res.x}")
    

5. 总结流程图

以下是整个流程的总结性流程图：

graph TD;
            A[定义 Polynomial 核] --> B[继承 Kernel 类];
            B --> C[实现 __call__ 方法];
            C --> D[初始化 GPR 模型];
            D --> E[训练模型];
            E --> F[调整超参数];
            F --> G[预测与评估];