请问高等数学中导数和极限怎么求？

Question

一、如何理解 y = sin(x) / x 在x不断接近0时，有最大的可能值为1？

二、y = x的导数为什么是1？

三、y = sin(x)的导数为什么是函数cos(x)？

四、y = ▽x / ▽x ，在▽x接近0时，为什么极限值是1？

Answer 1

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高等数学中导数和极限的求法

一、理解 y = sin(x) / x 在 x不断接近0时，有最大的可能值为1

在极限中，我们可以使用极限的定义来理解这个问题。极限的定义是：对于函数f(x)，如果存在一个实数L，使得对于所有ε>0，存在一个δ>0，使得对于所有x满足|x-a|<δ，f(x)−L|<ε，则称L为函数f(x)在点a的极限。

在这里，我们可以看到当x不断接近0时，sin(x) / x 的值会趋近于1。这是因为sin(x)在x接近0时的值会趋近于x的值，而x的值在x接近0时会趋近于0，因此sin(x) / x 的值会趋近于1。

二、y = x 的导数为什么是1

y = x 的导数可以通过定义导数来计算：

f'(x) = lim(h → 0) [f(x + h) - f(x)]/h

在这里，我们可以看到当h趋近于0时，f(x + h) - f(x) = x + h - x = h，因此：

f'(x) = lim(h → 0) [h]/h = 1

因此，y = x 的导数是1。

三、y = sin(x) 的导数为什么是函数cos(x)

y = sin(x) 的导数可以通过定义导数来计算：

f'(x) = lim(h → 0) [f(x + h) - f(x)]/h

在这里，我们可以看到：

f(x + h) = sin(x + h) f(x) = sin(x)

因此：

f'(x) = lim(h → 0) [sin(x + h) - sin(x)]/h

使用三角函数的公式，我们可以将上式展开：

f'(x) = lim(h → 0) [(cos(x) * h) + (sin(x) * sin(h))]/h

由于sin(h) / h趋近于1，当h趋近于0时，我们可以忽略sin(x) * sin(h)项：

f'(x) = lim(h → 0) [cos(x) * h]/h = cos(x)

因此，y = sin(x) 的导数是函数cos(x)。

四、y = ▽x /

这个问题可能是指y = x的导数为什么是1？我们已经在上面回答过这个问题了。