求解答一个关于括号匹配的算法问题

Question

题目

MT2114 - 括号家族

小码哥在研究只有左括号和右括号组成的序列。给出一个括号序列，求出最长合法子串和它的数量（合法的定义：这个序列中左右括号匹配）。

例如:(()不合法，)()(也不合法，但()()和(())合法。

格式

输入格式：

输入一行只有左括号和右括号组成的序列（只包含小括号）。

输出格式：

输出两个数字：最长子字符串的长度，以及此类子字符串的数量，如果没有这样的子字符串，则输出0 1。

样例 1

输入：

()()))()()(()

输出：

4 2

备注

其中：字符串长度小于等于$10^6$。

疑问：

我的代码只通过了三个（测试结果如下图），但是我自己找不出反例。。有没有人能帮忙看看。(最好能给出反例)

思路说明：

总体是用了栈加线性DP
dp数组根据括号种类有两种含义：

对于左括号'('：dp[i]表示该左括号前面邻接的已成功匹配的长度

对于右括号')':dp[i]表示如下：

如果该右括号没有匹配成功，则dp[i]=-1;

否则：
设j为与该右括号匹配的左括号索引，则i+1-j为这对括号的长度，
则dp[i]=i+1-j+dp[j]表示这对括号的长度加上前面邻接的已成功匹配的长度。应该就是以该右括号结尾的成功匹配的最长子串长度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    string s;
    cin>>s;
    long long n=s.size();
    stack<long long> stk;
    vector<long long> dp(n,-1);
    long long max=0,cnt=1;
    long long len=0;//len用来统计邻接下一个左括号的成功匹配的长度
    for(long long i=0;i<n;i++){
        if(s[i]=='('){
            if(i>0&&s[i-1]=='('){
                len=0;//如果前面也是左括号则该左括号前面邻接的成功匹配长度为0
            }
            stk.push(i);//将左括号索引入栈
            dp[i]=len;
        }
        else{
            if(stk.empty()) {//栈空时遇到右括号就跳过同时len=0
                len=0;
                continue;
            }
            else{//栈非空该右括号就被匹配到索引为stk.top()的左括号
                dp[i]=i-stk.top()+dp[stk.top()]+1;
                stk.pop();
                len+=2;
            }
            //下面是统计max和cnt
            if(dp[i]>max){
                max=dp[i];
                cnt=1;
            }
            else if(dp[i]==max) cnt++;
        }
    }
    cout<<max<<" "<<cnt<<endl;
    return 0;
}

Answer 1

下午好🌅🌅🌅
本答案参考通义千问

你的问题是一个经典的括号匹配问题，目标是找出最长合法子串的长度以及该长度出现的次数。你提供的代码思路是基于**栈 + 动态规划（DP）**的方法，但存在一些逻辑错误，导致无法通过所有测试用例。

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✅ 问题分析

1. 错误原因

• 你在处理右括号时，使用了一个 len 变量来统计邻接的已成功匹配长度，但这个变量的逻辑并不正确。
• dp[i] 的定义不够清晰，且在处理右括号时没有完全利用 DP 数组的结构。
• 在计算 cnt 时，只考虑了当前右括号结尾的情况，忽略了可能有多个不同位置的相同最大长度子串。

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✅ 正确思路

🔹 解题思路（推荐方法）

我们可以采用以下步骤：

1. 使用一个栈来记录左括号的位置。
2. 使用一个数组 dp 来记录以每个位置结尾的最长合法子串长度。
3. 遍历字符串，遇到左括号则入栈，并更新 dp[i] = 0（因为单独一个左括号不能构成合法子串）。
4. 遇到右括号时：
   • 如果栈不为空，则弹出栈顶元素（即匹配的左括号索引），并计算当前匹配的长度为 i - top + 1 + dp[top]。
   • 更新 dp[i] 的值。
5. 同时维护一个全局变量 max_len 和 count，用于记录最长合法子串的长度和其出现次数。

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✅ 修改后的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    string s;
    cin >> s;
    long long n = s.size();
    stack<long long> stk;
    vector<long long> dp(n, 0); // dp[i] 表示以 i 结尾的最长合法子串长度
    long long max_len = 0;
    long long count = 0;

    for (long long i = 0; i < n; ++i) {
        if (s[i] == '(') {
            stk.push(i);
            dp[i] = 0; // 单独左括号不能构成合法子串
        } else {
            if (!stk.empty()) {
                long long left_idx = stk.top();
                stk.pop();

                // 计算当前合法子串长度
                dp[i] = i - left_idx + 1;
                if (left_idx > 0) {
                    dp[i] += dp[left_idx - 1]; // 加上前面的合法子串长度
                }

                // 更新最大长度和计数
                if (dp[i] > max_len) {
                    max_len = dp[i];
                    count = 1;
                } else if (dp[i] == max_len) {
                    count++;
                }
            } else {
                dp[i] = 0; // 不合法，重置
            }
        }
    }

    if (max_len == 0) {
        cout << "0 1" << endl; // 没有合法子串
    } else {
        cout << max_len << " " << count << endl;
    }

    return 0;
}

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✅ 示例解析

输入：

()()))()()(()

输出：

4 2

解释：

• 合法子串有：
  • "()()"（从第0位到第3位）
  • "()()"（从第4位到第7位）
• 最长长度为 4，出现 2 次。

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✅ 常见反例及说明

反例 1：

输入：)()())

输出应为：4 1（合法子串是 "()()"）

反例 2：

输入：((()))

输出应为：6 1（整个字符串都是合法的）

反例 3：

输入：()(())

输出应为：6 1（整个字符串合法）

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✅ 总结

| 问题点 | 修正方式 | |--------|----------| | len 变量逻辑错误 | 使用 dp[i] 来记录以当前位置结尾的合法子串长度 | | dp[i] 定义不清 | 明确定义为“以 i 结尾的最长合法子串长度” | | count 统计不全面 | 需要遍历所有 dp[i] 才能统计所有最大长度子串 |

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如果你还有其他疑问或想了解更优化的解法（如线性时间复杂度），欢迎继续提问！