如何证明这个正整数方程是唯一解？

Question

正整数 a<b<c，1/a+1/b+1/c = 200/711。
如何求解并证明这个正整数方程有唯一解？

Answer 1

一杯年华@编程空间帮您解答，本答案结合 ChatGPT4.0和DeepSeek整理
我曾经遇到过类似的问题，都是需要在正整数范围内求解分式方程并证明解的唯一性，这类问题的关键在于通过不等式确定变量的取值范围，再逐步枚举验证。

对于方程(1/a + 1/b + 1/c = 200/711)（其中正整数(a < b < c)），我可以提供以下几种解决方案：

解决方案一：通过范围约束逐步筛选

1. 确定(a)的取值范围
   • 因为(a < b < c)，所以(1/a > 1/b > 1/c)，那么(1/a + 1/b + 1/c < 3/a)。
   • 由此可得(3/a > 200/711)，解得(a < 3×711÷200≈10.665)，所以(a)的可能取值为1到10。
   • 又因为(1/a)是三个分数中最大的，且(200/711≈0.281)，而(1/3≈0.333>0.281)，所以(a\geq4)，即(a)的可能取值为4到10。
2. 对每个(a)值确定(b)的范围并验证(c)
   • 当(a = 4)时，(1/b + 1/c=200/711 - 1/4=89/2844)。因为(b < c)，所以(1/b > 1/c)，即(1/b > (89/2844)÷2)，可得(b < 5688÷89≈63.91)。同时，(1/b < 89/2844)，可得(b > 2844÷89≈31.95)，所以(b)的取值范围是32到63。然后计算(c = 2844b÷(89b - 2844))，逐一验证是否为正整数，发现当(b = 32)时，(c=22752)是正整数。
   • 当(a = 5)到10时，用同样的方法确定(b)的范围，再计算(c)，发现没有符合条件的正整数(b)和(c)。

解决方案二：假设存在多组解并反证

假设存在另一组正整数解(a_1 < b_1 < c_1)满足方程。由前面的分析可知，(a)的取值范围有限，且只有当(a = 4)时可能有解。对于(a)取其他值时，通过对(b)的取值逐一尝试，都找不到满足条件的(b)和(c)。所以不存在其他解，即当(a = 4)，(b = 32)，(c = 22752)是唯一解。

最优方案详解

最优方案是解决方案一，即通过范围约束逐步筛选。这种方法逻辑清晰，从最外层的变量(a)入手，通过不等式严格限制其取值范围，大大减少了枚举的工作量。然后对于每个可能的(a)值，再进一步限制(b)的范围，最后计算(c)并验证是否为正整数。这种层层递进的筛选方式，能够高效地找到符合条件的解，并且由于每一步的范围都是严格推导出来的，也能很好地证明解的唯一性。

综上，该方程的唯一解是(a = 4)，(b = 32)，(c = 22752)，请楼主采纳。如有问题请继续留言。