实对称矩阵特征值与特征向量的正交性证明？

Question

**问题：如何证明实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交？** 在矩阵理论中，实对称矩阵是一类重要的矩阵，其具有多个优良性质，其中之一是：属于不同特征值的特征向量彼此正交。那么，如何从数学上严格证明这一结论？具体而言，设 $ A $ 为 $ n \times n $ 的实对称矩阵，即 $ A = A^T $，若 $ \lambda_1 \neq \lambda_2 $ 是 $ A $ 的两个不同特征值，对应非零特征向量分别为 $ x $ 和 $ y $，即满足： $$ A x = \lambda_1 x, \quad A y = \lambda_2 y, $$ 请给出详细推导过程，证明这两个特征向量 $ x $ 与 $ y $ 必满足正交性： $$ x^T y = 0. $$ 该问题适用于线性代数、数值分析及机器学习等领域的基础理解与应用推导。