S的小数点后第2016位是数字几？

Question

小学数学题：

​S=1/9+1/99+1/999+…+1/99…9，最后一项的分母是一万个9。
S的小数点后第2016位是数字几？

请以小学数学知识，不超过20行的论证、计算，给出答案。

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Answer 1

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问题重述

我们需要计算以下无限级数的小数点后第2016位数字：
[ S = \frac{1}{9} + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \dots + \frac{1}{\underbrace{99\dots9}_{10000 \text{个}9}} ]

解题思路

1. 观察每一项的小数形式：
   • (\frac{1}{9} = 0.\overline{1})（即0.1111...）
   • (\frac{1}{99} = 0.\overline{01})（即0.010101...）
   • (\frac{1}{999} = 0.\overline{001})（即0.001001001...）
   • 依此类推，(\frac{1}{\underbrace{99\dots9}_{n \text{个}9}} = 0.\overline{000\dots1})（周期为(n)，小数点后(n-1)个0，接着是1）。

1. 小数部分叠加：
   • 将每一项的小数部分对齐相加，观察每一位的数字。
   • 第(k)位的数字由所有周期能整除(k)的项贡献（即第(k)位是1，其余是0）。

1. 第2016位的数字：
   • 我们需要找出所有分母的9的个数(n)满足(n)是2016的约数（因为只有这些项会在第2016位贡献1）。
   • 计算2016的约数个数，每个约数对应一个贡献1的项。
   • 第2016位的数字就是这些贡献1的项的总和的个位数。

计算2016的约数

2016的质因数分解：
[ 2016 = 2^5 \times 3^2 \times 7 ]
约数个数公式：
[ (5+1)(2+1)(1+1) = 6 \times 3 \times 2 = 36 ]
因此，2016有36个约数。

第2016位的数字

• 每一项的贡献是1，所以总贡献是36。
• 数字是36的个位数，即6。

验证分母限制

题目中分母最多是10000个9，我们需要确认2016的所有约数是否都小于等于10000：

• 2016的最大约数是2016本身（因为2016 < 10000），所以所有约数都有效。

最终答案

S的小数点后第2016位数字是6。