平凸透镜前后焦距公式关系推导

Question

图片中平凸透镜后截距的第一条公式为什么成立呀？他是如何得到的呀？

Answer 1

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1. 关键点分析：
   - 要推导平凸透镜后截距公式成立的原因，需要基于光学成像的基本原理，特别是薄透镜成像公式以及相关的几何光学知识。关键在于理解光线在平凸透镜中的折射规律以及如何通过物距、像距等参数来描述成像情况。
2. 解决方案：
   - 设平凸透镜的曲率半径为(R)，折射率为(n)，物距为(u)，像距为(v)。
   - 根据折射定律(n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2)，对于平凸透镜，当光线从空气（(n_1 = 1)）入射到透镜（(n_2 = n)）时，我们可以利用近轴光线近似，此时(\sin\theta\approx\tan\theta)。
   - 从物点(P)发出的光线，经过平凸透镜折射后成像。对于平凸透镜，我们可以利用以下几何关系来推导公式。
   - 设光线在平凸透镜前表面折射后与光轴交点为(F_1)（前焦点），在透镜后表面折射后与光轴交点为(F_2)（后焦点）。
   - 对于前表面，根据折射定律和几何关系，有(\frac{n}{v_1}-\frac{1}{u}=\frac{n - 1}{R})（这是单球面折射公式，(v_1)是光线在前表面折射后的像距）。
   - 对于后表面，光线从前表面折射后的像作为后表面的物，此时物距为(v_1 - d)（(d)为透镜厚度，对于薄透镜可近似忽略），后表面的折射公式为(\frac{1}{v}-\frac{n}{v_1 - d}=\frac{1 - n}{-R})。
   - 当忽略透镜厚度时，将前表面折射公式变形为(\frac{n}{v_1}=\frac{n - 1}{R}+\frac{1}{u})，代入后表面折射公式中：
   • (\frac{1}{v}-\frac{n}{v_1}=\frac{n - 1}{R})
   • (\frac{1}{v}-(\frac{n - 1}{R}+\frac{1}{u})=\frac{n - 1}{R})
   • 整理可得(\frac{1}{v}=\frac{2(n - 1)}{R}+\frac{1}{u})。
   • 对于后截距(x)（从透镜后顶点到像的距离），当物在无穷远（(u=\infty)）时，像距(v = f_2)（后焦距），此时(\frac{1}{f_2}=\frac{2(n - 1)}{R})。
   • 一般情况下，(\frac{1}{x}=\frac{2(n - 1)}{R}+\frac{1}{u})，移项可得(x=\frac{R}{2(n - 1) + \frac{R}{u}})。
   • 当透镜置于空气中时，(n)为透镜折射率，对于平凸透镜，如果已知后焦距(f_2)，则(x)的公式可以进一步推导。由(\frac{1}{f_2}=\frac{2(n - 1)}{R})可得(R=\frac{2(n - 1)f_2}{1})，代入(x)的公式：
   • (x=\frac{\frac{2(n - 1)f_2}{1}}{2(n - 1)+\frac{\frac{2(n - 1)f_2}{1}}{u}})
   • 化简可得(x=\frac{f_2u}{u + f_2})（这里的推导过程基于薄透镜成像的严格光学推导，利用了折射定律和几何关系）。
3. 多种解决方案优缺点：
   - 解析几何方法：
   • 优点：基于严格的折射定律和几何关系，推导过程严谨，能准确反映光线在透镜中的传播情况，物理意义明确。
   • 缺点：推导过程较为复杂，涉及较多的几何图形和三角函数运算，对于初学者理解起来有一定难度。
   • 矩阵光学方法：
   • 优点：利用矩阵运算来描述光线传播，推导过程简洁明了，适用于复杂光学系统的分析，能快速得到结果。
   • 缺点：需要对矩阵光学有一定的了解，对于只熟悉基本光学原理的人来说，理解矩阵运算的物理意义有一定障碍。
4. 总结：
   - 平凸透镜后截距公式是基于光学成像原理，通过对光线在透镜前后表面折射的几何关系和折射定律进行推导得到的。不同的推导方法各有优缺点，但最终都能得出准确的公式。这些公式对于分析平凸透镜成像的位置、焦距等参数具有重要意义，在光学设计和成像系统分析中经常会用到。

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