3682图的连通分量

Question

AcWing3682 图的连通分量**
https://www.acwing.com/problem/content/description/3685/
给定 m个不同的整数 a1,a2,…,am，每个数都处于 [0,2n−1]的范围内。

一个图按照如下约束建立：

如果整数 X 和 Y满足 X&Y=0（&是按位与运算），则 X和 Y 由一条无向边连接。

请计算，图中连通分量的数量。

输入格式
输入包含不超过 10组测试数据。

每组数据第一行包含两个整数 n,m。

第二行包含 m个整数 a1,a2,…,am。

输出格式
每组数据输出一行结果，表示连通分量的个数。

数据范围
0≤n≤22,
1≤m≤2n,
0≤ai<2n

输入样例：
2 3
1 2 3
5 5
5 19 10 20 12
5 6
5 19 10 20 12 0

输出样例：
2
2
1

谁能解释一下呀，什么是连通分量呀，太难为我初中生了

Answer 1

晚上好🌙🌙🌙
本答案参考通义千问

连通分量（Connected Component） 是图论中的一个基本概念。简单来说，在一个无向图中，如果两个顶点之间可以通过一系列边连接起来，那么这两个顶点就属于同一个连通分量。

举个例子：

• 如果你有一张图，其中有些点互相连着，而另一些点不连着，那么每个“独立的块”就是一个连通分量。
• 例如，如果图中有3个互不相连的点，那么就有3个连通分量；如果有两个点相连，另一个点不连，那么就是2个连通分量。

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题目解析

题目给出的是一个特殊的图结构，其构造规则如下：

如果两个整数 X 和 Y 满足 X & Y = 0（按位与），则它们之间有一条无向边。

也就是说，只要两个数在二进制下没有任何一位同时为1，它们之间就会有边。

我们的任务是：给定一组数，计算这个图中有多少个连通分量。

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解题思路

1. 理解图的构造方式

我们不是直接构造整个图，而是通过判断两个数是否满足 X & Y == 0 来判断是否有边。

但是，如果我们直接对所有数两两比较，时间复杂度会很高（比如 m=2^22 时，m^2 就是 2^44，显然不行）。

所以我们要找一个更高效的方式。

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2. 观察性质：连通分量与二进制位有关

注意到：两个数 X 和 Y 能连通的条件是 它们的二进制表示没有重叠的1。

我们可以把这个问题转化为一个集合问题：找出所有可以相互连接的数，形成一个连通分量。

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3. 使用并查集（Union-Find）算法

我们可以使用并查集来处理这个问题：

• 初始化每个数为一个独立的集合。
• 对于每一对数 (X, Y)，如果 X & Y == 0，就把它们合并到一个集合中。
• 最后统计有多少个不同的集合，就是连通分量的数量。

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4. 优化方法（关键）

由于 n 的范围是 [0, 22]，即最大是 2^22 ≈ 4 million。对于 m ≤ 2^n，我们可以考虑以下优化：

• 将所有的数转换成二进制形式，然后根据它们的二进制位来判断是否可以连通。
• 但这样还是需要两两比较，时间复杂度太高。

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5. 更高效的观察

我们可以从位的角度来看：

• 一个数 X 可以和那些二进制位与 X 的二进制位没有交集的数相连。
• 所以，我们可以将数按照它们的二进制位进行分类，看看哪些数能组成一个连通分量。

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举个例子帮助理解

输入样例：

2 3
1 2 3

这表示 n=2，也就是所有数都在 [0, 3] 范围内，共有 3 个数：1, 2, 3。

我们来看看它们之间的关系：

• 1 (01) 和 2 (10)：1&2=0 → 有边
• 1 (01) 和 3 (11)：1&3=1 → 没有边
• 2 (10) 和 3 (11)：2&3=2 → 没有边

所以图中只有 1 和 2 相连，3 单独存在。

因此，连通分量数量是 2。

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正确的解法步骤（详细）

✅ 步骤一：读取输入

• 读取 n 和 m。
• 读取 m 个整数 a1, a2, ..., am。

✅ 步骤二：初始化并查集

• 使用并查集结构，初始时每个数是一个独立的集合。

✅ 步骤三：遍历所有数对

• 对于每对 i < j：
  • 如果 a[i] & a[j] == 0，说明它们之间有边，将它们合并。

✅ 步骤四：统计连通分量数量

• 遍历所有数，统计有多少个不同的根节点（即不同的集合）。

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示例代码（Python）

def find(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find(parent, parent[x])
    return parent[x]

def union(parent, rank, x, y):
    root_x = find(parent, x)
    root_y = find(parent, y)
    if root_x != root_y:
        if rank[root_x] > rank[root_y]:
            parent[root_y] = root_x
        else:
            parent[root_x] = root_y
            if rank[root_x] == rank[root_y]:
                rank[root_y] += 1

def count_components(n, m, nums):
    parent = {}
    rank = {}

    for num in nums:
        parent[num] = num
        rank[num] = 0

    for i in range(m):
        for j in range(i + 1, m):
            if (nums[i] & nums[j]) == 0:
                union(parent, rank, nums[i], nums[j])

    roots = set()
    for num in nums:
        roots.add(find(parent, num))

    return len(roots)

# 测试样例
import sys
input = sys.stdin.read
data = input().split()

idx = 0
while idx < len(data):
    n = int(data[idx])
    m = int(data[idx + 1])
    idx += 2
    nums = list(map(int, data[idx:idx + m]))
    idx += m
    print(count_components(n, m, nums))

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重点总结

• 连通分量：图中互相可达的点构成一个连通分量。
• 关键条件：X & Y == 0 表示 X 和 Y 可以连通。
• 解决方法：使用并查集来合并符合条件的点。
• 时间复杂度：O(m²)（在 m 较小的情况下可行）。
• 优化建议：对于大范围数据，可以尝试基于二进制位的优化。

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如果你是初中生，没关系！这个题目虽然看起来难，但理解了基本概念之后，就可以一步步解决啦 😊