C++ Eigen坐标系旋转矩阵乘顺序问题

Question

已知A坐标系通过平移x y z并先绕自身X轴旋转rx再绕新的Y轴旋转ry再绕新的Z轴旋转rz；我想构建旋转矩阵，并且旋转矩阵能转回rx ry rz，经过实测

 Eigen::Matrix3d R;
 R = Eigen::AngleAxisd(r.x(), Eigen::Vector3d::UnitX()) * 
Eigen::AngleAxisd(r.y(), Eigen::Vector3d::UnitY()) * 
Eigen::AngleAxisd(r.z(), Eigen::Vector3d::UnitZ());

经过

   R.eulerAngles(0, 1, 2);

可以得到原始的rx,ry,rz，
可查到说旋转矩阵是从右往左应用,理解为了

Eigen::AngleAxisd(r.z(), Eigen::Vector3d::UnitZ()) * Eigen::AngleAxisd(r.y(), Eigen::Vector3d::UnitY()) * Eigen::AngleAxisd(r.x(), Eigen::Vector3d::UnitX());

式中的r与再通过

   R.eulerAngles(0, 1, 2);

得到的值不一样
麻烦请问一下，是我Eigen中的旋转矩阵乘顺序理解错误还是（0,1,2）的顺序也是从右往左来理解的问题？

是不是数学层面从右往左，但C++执行顺序是从左往右这方面的原因吗？
以下代码输出1 2 3

    auto&& fun = [](int a) {
        std::cout << a << "\n";
        return a;
    };
    int b = fun(1) * fun(2) * fun(3);

Answer 1

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在Eigen库中，旋转矩阵的乘法顺序确实容易引起混淆。根据你的问题描述，我将从数学原理和Eigen实现两个层面进行解释：

1. 数学原理层面：
   旋转矩阵的乘法顺序遵循从右向左应用的规则。当你需要先绕X轴旋转，再绕Y轴，最后绕Z轴时，数学表达式应为：

R = Rz * Ry * Rx

这是因为旋转是相对于当前坐标系的连续变换。

1. Eigen实现层面：
   你观察到的现象是正确的。在Eigen中，以下两种写法是等价的：

// 写法1（推荐）
Eigen::Matrix3d R = 
    Eigen::AngleAxisd(rz, Eigen::Vector3d::UnitZ()) * 
    Eigen::AngleAxisd(ry, Eigen::Vector3d::UnitY()) * 
    Eigen::AngleAxisd(rx, Eigen::Vector3d::UnitX());


// 写法2（与写法1等效）
Eigen::Matrix3d R = 
    (Eigen::AngleAxisd(rz, Eigen::Vector3d::UnitZ()) * 
    (Eigen::AngleAxisd(ry, Eigen::Vector3d::UnitY()) * 
    Eigen::AngleAxisd(rx, Eigen::Vector3d::UnitX()));

1. 关于eulerAngles提取：

Vector3d euler = R.eulerAngles(0, 1, 2);  // 0:X轴, 1:Y轴, 2:Z轴

这里的参数顺序(0,1,2)表示提取欧拉角的顺序是X-Y-Z，对应的是旋转矩阵R = Rz * Ry * Rx的逆过程。

1. 你的测试代码说明：

auto&& fun = [](int a) {
    std::cout << a << "\n";
    return a;
};
int b = fun(1) * fun(2) * fun(3);  // 输出1 2 3

这说明C++中乘法操作数的求值顺序是从左到右，但这与矩阵乘法本身的结合性无关。矩阵乘法始终是右结合的。

1. 正确理解顺序：

总结：

• 数学上旋转矩阵乘法是右结合的：R = Rz * Ry * Rx
• Eigen的实现与数学一致，乘法顺序也是从右向左
• eulerAngles(0,1,2)提取的是X-Y-Z顺序的欧拉角
• C++表达式求值顺序不影响矩阵乘法本身的结合性

建议始终使用最直观的写法（写法1），这样代码既符合数学表达，又能正确反映旋转顺序。