控制障碍函数如何保障系统安全性？

Question

**问题：如何通过控制障碍函数（CBF）保障非线性系统的安全性，并在实际控制中如何与控制器协同工作？** 控制障碍函数（Control Barrier Function, CBF）是一种基于李导数的数学工具，广泛应用于保障非线性动力系统的安全性。其核心思想是通过构造一个满足特定不等式约束的屏障函数，确保系统状态始终位于安全区域内。那么，如何设计合适的CBF以适应复杂系统的安全约束？在实际控制中，CBF又是如何与控制器（如PID或MPC）结合，实现在满足安全性的同时保持系统稳定性与性能？这一过程中可能面临哪些挑战，如高相对度系统处理、不完全状态观测、以及实时计算负担等问题？

Answer 1

1. 控制障碍函数（CBF）的基本概念与作用

控制障碍函数（Control Barrier Function, CBF）是一种用于保障非线性系统安全性的数学工具。其基本思想是通过构造一个屏障函数 $ h(x) $，定义系统的安全区域 $ \mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n : h(x) \geq 0\} $，并利用李导数（Lie derivative）来推导出控制输入的约束条件。

对于系统：

$$
        \dot{x} = f(x) + g(x)u
        $$

CBF要求满足以下不等式：

$$
        L_f h(x) + L_g h(x)u + \alpha(h(x)) \geq 0
        $$

其中 $ \alpha(\cdot) $ 是一个类K函数，用于保证系统状态在安全区域内演化。

2. CBF的设计与安全性保障

设计CBF的关键在于构造合适的屏障函数 $ h(x) $。该函数需要满足以下两个基本条件：

• 安全性：当 $ h(x) \geq 0 $ 时，系统处于安全状态；
• 可达性：存在控制输入 $ u $ 使得 $ h(x) $ 满足CBF条件。

设计流程如下：

1. 定义系统的安全状态集合 $ \mathcal{C} $；
2. 选择合适的屏障函数 $ h(x) $；
3. 计算李导数 $ L_f h(x) $ 和 $ L_g h(x) $；
4. 设计类K函数 $ \alpha(h(x)) $；
5. 构造CBF约束条件并嵌入控制策略。

3. CBF与控制器的协同机制

CBF通常与控制器（如PID、MPC）协同工作，以在保证系统性能的同时满足安全性要求。其核心思想是将CBF约束作为优化问题中的附加约束。

3.1 与MPC的结合

模型预测控制（MPC）通过求解滚动优化问题来生成控制输入。CBF可作为状态约束加入目标函数或约束条件中：

$$
        \min_{u_k, \dots, u_{k+N}} \sum_{i=0}^{N} \|x_{k+i} - x_d\|^2_Q + \|u_{k+i}\|^2_R
        $$
        $$
        \text{s.t. } \dot{x} = f(x) + g(x)u,\quad h(x_{k+i}) \geq 0
        $$

3.2 与PID控制器的结合

在PID控制中，CBF可通过实时调整控制增益或限制控制输出范围来实现安全保障。例如，将CBF作为安全层，限制PID输出的幅值。

4. CBF在实际控制中的挑战与解决方案

尽管CBF理论成熟，但在实际应用中仍面临多个挑战：

挑战	描述	解决方案
高相对度系统	当系统相对度大于1时，CBF的构造变得复杂。	引入高阶CBF（High-Order CBF）进行扩展。
不完全状态观测	部分状态无法直接测量，影响CBF的判断。	使用观测器（如Luenberger观测器或EKF）估计状态。
实时计算负担	CBF与控制器联合求解可能造成计算延迟。	采用近似算法、模型降阶或离线预计算部分项。
多安全约束冲突	多个CBF之间可能存在冲突导致无解。	引入松弛变量或优先级机制解决冲突。

5. CBF在实际系统中的应用示例

CBF广泛应用于机器人、自动驾驶、无人机等系统中，例如：

• 机器人避障：通过CBF限制机器人与障碍物之间的最小距离；
• 自动驾驶：保障车辆与前车的安全距离；
• 多智能体系统：确保智能体之间不会发生碰撞。

下面是一个CBF与MPC协同工作的系统结构图：

            graph TD
                A[系统状态] --> B(CBF安全约束)
                A --> C(MPC控制器)
                B --> C
                C --> D[控制输入u]
                D --> E[系统执行]
                E --> A