任意阻抗的S参数与50欧姆阻抗的S参数的公式的推导过程

Question

您好，感谢您S参数的理解II这篇文章解答了我的问题，但关于文章中任意阻抗的S参数与50欧姆阻抗的S参数的公式的推导过程还想请您为我解答。

Answer 1

晚上好🌙🌙🌙
本答案参考通义千问

当然可以！关于任意阻抗的S参数与50欧姆阻抗的S参数之间的转换公式推导，这是一个在射频和微波工程中非常重要的问题。我们来详细推导这个过程，并展示关键公式。

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一、什么是S参数？

S参数（散射参数）是描述网络端口之间电磁波反射和传输特性的参数。它通常是在标准参考阻抗Z₀ = 50 Ω下定义的。

对于一个二端口网络，S参数矩阵为：

$$ \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} \ S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} $$

其中：

• $ S_{11} $：端口2匹配时，端口1的反射系数；
• $ S_{12} $：端口1匹配时，端口2到端口1的传输系数；
• $ S_{21} $：端口2匹配时，端口1到端口2的传输系数；
• $ S_{22} $：端口1匹配时，端口2的反射系数。

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二、从任意阻抗到50欧姆阻抗的S参数转换

假设我们现在有一个二端口网络，其端口阻抗为Z₁ 和 Z₂（而不是标准的50 Ω）。我们希望将其S参数转换为以50 Ω为参考阻抗的标准S参数。

1. 基本思路

我们可以使用阻抗归一化的方法，将原来的S参数通过阻抗变换器（如阻抗适配器或传输线）进行转换。

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三、推导过程

1. 定义归一化阻抗

设原始端口阻抗为 $ Z_1 $ 和 $ Z_2 $，我们需要将其转换为以50 Ω为参考的S参数。

令：

$$ z_1 = \frac{Z_1}{50}, \quad z_2 = \frac{Z_2}{50} $$

即，将原阻抗归一化为相对于50 Ω的比例。

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2. 构建归一化S参数矩阵

我们可以使用以下公式将任意阻抗下的S参数转换为50 Ω下的S参数：

公式如下：

$$ \begin{bmatrix} S'{11} & S'{12} \ S'{21} & S'{22} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \frac{z_1 - 1}{z_1 + 1} & \sqrt{\frac{z_1}{z_2}} \cdot \frac{2}{z_1 + 1} \ \sqrt{\frac{z_2}{z_1}} \cdot \frac{2}{z_2 + 1} & \frac{z_2 - 1}{z_2 + 1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} \ S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{z_1 + 1}{z_1 - 1} & \sqrt{\frac{z_2}{z_1}} \cdot \frac{2}{z_1 + 1} \ \sqrt{\frac{z_1}{z_2}} \cdot \frac{2}{z_2 + 1} & \frac{z_2 + 1}{z_2 - 1} \end{bmatrix} $$

注意： 这个公式是基于阻抗归一化和传输线理论推导而来，适用于二端口网络的S参数转换。

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四、简化公式（若两端口阻抗相同）

如果两个端口的阻抗相同，即 $ Z_1 = Z_2 = Z $，则：

$$ z = \frac{Z}{50} $$

此时，S参数转换公式简化为：

$$ S'{11} = \frac{z - 1}{z + 1} \cdot S{11} + \frac{2}{z + 1} \cdot S_{12} $$

$$ S'{12} = \frac{2}{z + 1} \cdot S{12} $$

$$ S'{21} = \frac{2}{z + 1} \cdot S{21} $$

$$ S'{22} = \frac{z - 1}{z + 1} \cdot S{22} + \frac{2}{z + 1} \cdot S_{21} $$

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五、实际应用中的注意事项

1. 阻抗匹配：如果原始阻抗与50 Ω不一致，直接使用50 Ω的S参数可能导致测量误差。
2. 仿真软件支持：很多射频仿真工具（如ADS、HFSS等）支持自定义参考阻抗，可以直接输出对应阻抗的S参数。
3. 实际测试中：需要使用阻抗变换器（如90°传输线、变压器）实现阻抗匹配。

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六、代码示例（Python）

以下是一个简单的Python函数，用于将任意阻抗下的S参数转换为50 Ω参考下的S参数：

import numpy as np

def convert_s_params(S, Z1, Z2):
    z1 = Z1 / 50
    z2 = Z2 / 50
    
    # 构造转换矩阵
    T = np.array([
        [(z1 - 1)/(z1 + 1), 2 * np.sqrt(z1/z2) / (z1 + 1)],
        [2 * np.sqrt(z2/z1) / (z2 + 1), (z2 - 1)/(z2 + 1)]
    ])
    
    inv_T = np.linalg.inv(T)
    
    # 转换后的S参数
    S_prime = T @ S @ inv_T
    return S_prime

使用说明：输入为原始S参数矩阵 S（形状为2x2），以及两个端口的阻抗 Z1 和 Z2。

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七、总结

| 步骤 | 内容 | |------|------| | 1 | 将原始阻抗归一化为相对于50 Ω的比例 | | 2 | 使用归一化阻抗构建转换矩阵 | | 3 | 应用矩阵乘法对原始S参数进行转换 | | 4 | 若阻抗相同，可简化计算 | | 5 | 实际应用中需注意阻抗匹配与仿真设置 |

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如果你有具体的S参数值或阻抗数值，我可以帮你进一步计算转换后的结果。欢迎继续提问！