X与Y均匀分布，Z=XY，求Z的概率密度函数？

Question

当随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 独立且均服从区间 $[0, 1]$ 上的均匀分布时，如何求乘积 $ Z = XY $ 的概率密度函数（PDF）？常见问题在于：直接使用卷积公式不适用于乘积形式，需通过分布函数法或变量变换法求解。典型错误包括忽略积分限的分段讨论或雅可比变换的正确应用。请推导 $ f_Z(z) $ 并说明为何结果在 $ z \in (0,1] $ 上呈现 $ -\ln z $ 的形式。

Answer 1

一、问题背景与直观理解

在概率论与统计建模中，随机变量的函数分布是一个核心课题。当两个独立的随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 均服从区间 $[0, 1]$ 上的均匀分布时，其乘积 $ Z = XY $ 的分布并不直观。许多初学者误以为可以像求和那样使用卷积公式，但卷积适用于 $ Z = X + Y $，而非乘积形式。

由于 $ X, Y \in [0,1] $，显然 $ Z = XY \in [0,1] $。我们关心的是 $ Z $ 的概率密度函数（PDF）$ f_Z(z) $。直接计算 PDF 困难，因此通常采用两种方法：

1. 分布函数法（CDF 法）：先求 $ F_Z(z) = P(XY \leq z) $，再求导得 PDF。
2. 变量变换法（雅可比行列式法）：引入辅助变量，进行联合分布变换。

二、分布函数法推导过程

我们从累积分布函数（CDF）入手：

$$ F_Z(z) = P(XY \leq z) $$

由于 $ X $ 和 $ Y $ 独立且均在 $[0,1]$ 上均匀分布，其联合 PDF 为：

$$ f_{X,Y}(x,y) = 1, \quad (x,y) \in [0,1]^2 $$

对 $ z \in (0,1] $，我们有：

$$ F_Z(z) = \iint_{xy \leq z} f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy = \int_0^1 \int_0^{\min(1, z/x)} dy\,dx $$

注意积分限需分段处理：当 $ x > z $ 时，$ z/x < 1 $，上限为 $ z/x $；当 $ x \leq z $ 时，$ z/x \geq 1 $，上限为 1。但由于 $ x \in [0,1] $，且 $ z \in (0,1] $，我们拆分为：

$$ F_Z(z) = \int_0^z \int_0^1 dy\,dx + \int_z^1 \int_0^{z/x} dy\,dx $$

计算得：

$$ F_Z(z) = \int_0^z 1\,dx + \int_z^1 \frac{z}{x}\,dx = z + z \int_z^1 \frac{1}{x}\,dx = z + z(\ln 1 - \ln z) = z - z\ln z $$

因此，CDF 为：

$$ F_Z(z) = \begin{cases} 0 & z \leq 0 \\ z - z\ln z & 0 < z \leq 1 \\ 1 & z > 1 \end{cases} $$

三、求导得到 PDF

对 $ F_Z(z) $ 在 $ (0,1] $ 上求导：

$$ f_Z(z) = \frac{d}{dz}(z - z\ln z) = 1 - (\ln z + 1) = -\ln z $$

故乘积 $ Z = XY $ 的 PDF 为：

$$ f_Z(z) = \begin{cases} -\ln z & 0 < z \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} $$

这正是为何结果呈现 $ -\ln z $ 形式的原因：它源于对区域 $ xy \leq z $ 的面积积分，其中 $ 1/x $ 的积分导致自然对数项出现。

四、变量变换法验证（广度拓展）

我们引入辅助变量 $ W = X $，则 $ Z = XY = WY $，即 $ Y = Z/W $。变换为：

$$ (x, y) \mapsto (w, z), \quad w = x,\; z = xy $$

雅可比行列式为：

$$ J = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(w,z)} \right| = \left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial z} \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\frac{z}{w^2} & \frac{1}{w} \end{matrix} \right| = \frac{1}{w} $$

联合 PDF 变换为：

$$ f_{W,Z}(w,z) = f_{X,Y}(w, z/w) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{w}, \quad \text{当 } 0 < w \leq 1,\; 0 < z/w \leq 1 $$

即约束为：$ z \leq w \leq 1 $ 且 $ 0 < z \leq 1 $。边缘 PDF 为：

$$ f_Z(z) = \int_{w=z}^1 \frac{1}{w}\,dw = -\ln z $$

与前述结果一致，验证了推导正确性。

五、常见错误与技术陷阱分析

错误类型	具体表现	正确做法
误用卷积公式	试图用 $ f_Z = f_X * f_Y $ 计算乘积分布	卷积仅适用于加法，乘积需用 CDF 或变换法
忽略积分限分段	未区分 $ x \leq z $ 与 $ x > z $	必须根据 $ z/x $ 是否小于 1 分段积分
雅可比符号错误	忘记取绝对值或计算行列式错误	严格按公式计算并保留 $ |J| $
定义域忽略	未限制 $ z \in (0,1] $	始终检查变量取值范围

六、数值验证与代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟生成 X, Y ~ Uniform(0,1)，计算 Z = XY
np.random.seed(42)
n = 1000000
X = np.random.uniform(0, 1, n)
Y = np.random.uniform(0, 1, n)
Z = X * Y

# 绘制直方图
plt.hist(Z, bins=100, density=True, alpha=0.6, color='g', label='Simulated PDF')

# 理论 PDF: -ln(z)
z_vals = np.linspace(1e-5, 1, 1000)
pdf_theory = -np.log(z_vals)
plt.plot(z_vals, pdf_theory, 'r-', label='Theoretical: $-\\ln z$', linewidth=2)

plt.xlabel('$z$')
plt.ylabel('PDF $f_Z(z)$')
plt.title('PDF of $Z = XY$, $X,Y \\sim U[0,1]$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

七、应用场景与延伸思考

该分布广泛应用于：

• 贝叶斯推理中的先验构造
• 蒙特卡洛模拟中的低差异序列分析
• 信号处理中乘性噪声建模
• 金融工程中的违约相关性模型

进一步可推广至 $ n $ 个独立 $ U[0,1] $ 变量乘积的分布，其 PDF 涉及 $ (-\ln z)^{n-1}/(n-1)! $，体现伽马函数结构。

八、流程图：求解乘积分布的通用路径

graph TD A[给定 Z = g(X,Y)] --> B{是否线性？} B -- 是 --> C[使用卷积] B -- 否 --> D[使用分布函数法或变量变换法] D --> E[分布函数法: P(g(X,Y) ≤ z)] D --> F[变量变换法: 引入辅助变量] E --> G[分段积分，注意定义域] F --> H[计算雅可比行列式] G --> I[求导得 PDF] H --> I I --> J[验证归一性与支持域]