信号与系统冲击偶函数

Question

怎么计算
冲击偶函数的积分计算
不知道咋算的
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信号与系统

Answer 1

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1. 关键点分析：
   - 冲击偶函数(\delta’(t))的积分计算是信号与系统中的一个重要知识点。关键在于理解冲击函数和冲击偶函数的性质以及积分规则。
2. 解决方案：
   - 冲击函数(\delta(t))的性质是(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1)，并且对于任何在(t = 0)处连续的函数(f(t))，有(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt=f(0))。
   - 对于冲击偶函数(\delta’(t))，它的积分规则如下：
   • (\int_{-\infty}^{\infty}\delta’(t)dt = 0)。
   • 对于任何在(t = 0)处连续且一阶导数也连续的函数(f(t))，利用分部积分法(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta’(t)dt=-f’(0))。推导过程如下：
   • 根据分部积分公式(\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v = uv|{a}^{b}-\int^{b}v\mathrm{d}u)。
   • 令(u = f(t))，(\mathrm{d}v=\delta’(t)\mathrm{d}t)，则(\mathrm{d}u = f’(t)\mathrm{d}t)，(v=\delta(t))。
   • 那么(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta’(t)dt=f(t)\delta(t)|{-\infty}^{\infty}-\int^{\infty}\delta(t)f’(t)dt)。
   • 因为(f(t)\delta(t))在(t\neq0)时为(0)，所以(f(t)\delta(t)|{-\infty}^{\infty}=0)，而(\int^{\infty}\delta(t)f’(t)dt = f’(0))，所以(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta’(t)dt=-f’(0))。
3. 多种解决方案的优缺点：
   - 目前这种基于冲击函数性质和分部积分法的计算方法是较为通用和准确的方法。
   - 优点：
   • 理论依据清晰，基于信号与系统中冲击函数的基本性质推导，具有普适性。
   • 计算过程相对简洁明了，只要理解了冲击函数和分部积分的原理，就能准确计算。
   • 缺点：
   • 对于初学者来说，理解冲击函数的性质以及分部积分的应用可能有一定难度，需要花费时间去掌握概念和推导过程。
4. 总结：
   - 冲击偶函数(\delta’(t))的积分计算有其特定的规则。(\int_{-\infty}^{\infty}\delta’(t)dt = 0)，对于合适的函数(f(t))，(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta’(t)dt=-f’(0))。通过理解冲击函数的性质并运用分部积分法，可以准确地进行相关积分计算。

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