圆柱壳用切比雪夫求振动

Question

用瑞利里茨法来算圆柱壳的固有频率，确定周向波数n=1，试函数用第一类切比雪夫项数来表示轴向函数，如何确定求解的固有频率所具体对应的轴向波数m？

Answer 1

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1. 关键点分析：
   - 要用瑞利里茨法计算圆柱壳固有频率，已知周向波数(n = 1)，且轴向函数用第一类切比雪夫项数表示。
   - 核心问题是确定与固有频率对应的轴向波数(m)。
2. 解决方案：
   - 首先，对于圆柱壳振动问题，瑞利里茨法的基本思路是选择合适的试函数，然后通过能量泛函求极值来确定固有频率。
   - 设轴向位移(u(x,z))的试函数为(u(x,z)=\sum_{m = 0}^{M}a_mT_m(x))，其中(T_m(x))是第一类切比雪夫多项式。
   - 根据圆柱壳的边界条件和振动方程，建立能量泛函(E)，它通常包含动能和势能项。
   - 动能项(T=\frac{1}{2}\rho\int_{V}(\frac{\partial u}{\partial t})^2dV)，势能项(V=\frac{1}{2}\int_{S}\sigma_{ij}\epsilon_{ij}dS)（这里(\rho)是密度，(\sigma_{ij})是应力张量，(\epsilon_{ij})是应变张量）。
   - 将试函数代入能量泛函中，得到(E = T - V)关于(a_m)的表达式。
   - 然后对(E)关于(a_m)求偏导数(\frac{\partial E}{\partial a_m}=0)，(m = 0,1,\cdots,M)，得到一组线性方程组。
   - 为了求解固有频率(\omega)，将线性方程组写成矩阵形式([K - \omega^2M]{a}=0)，其中([K])是刚度矩阵，([M])是质量矩阵。
   - 对于不同的(m)值，计算上述矩阵方程的行列式(\det(K - \omega^2M)=0)，求解得到一系列固有频率(\omega)。
   - 具体的代码示例（Python + SymPy）：

import sympy as sp

# 定义变量
x, z, t = sp.symbols('x z t')
rho = sp.Symbol('rho')
a_m = sp.symbols('a_m', cls=sp.Function)
m = sp.Symbol('m')

# 第一类切比雪夫多项式
T_m = sp.chebyshevt(m, x)

# 假设轴向位移试函数
u = sp.Sum(a_m(m)(z)*T_m, (m, 0, M))

# 根据圆柱壳振动方程建立动能和势能表达式（这里省略具体推导，假设已经得到）
T = sp.integrate(sp.integrate(sp.integrate(0.5*rho*(sp.diff(u, t))**2, (x, -1, 1)), (z, 0, 2*sp.pi)), (theta, 0, 2*sp.pi))
V = sp.integrate(sp.integrate(sp.integrate(0.5*sp.diff(u, x)**2, (x, -1, 1)), (z, 0, 2*sp.pi)), (theta, 0, sp.pi))


# 能量泛函
E = T - V

# 对能量泛函关于a_m求偏导数
eqs = [sp.diff(E, a_m(m)) for m in range(M + 1)]

# 求解线性方程组（这里假设已经得到刚度矩阵和质量矩阵的形式）
# 写成矩阵形式 [K - omega^2M]{a}=0
# 这里先假设已经得到矩阵形式并求解得到固有频率omega的表达式
omega_expr = sp.solve(sp.det(K - omega**2*M), omega)[0]

# 对于不同的m值，计算固有频率
for m_value in range(1, 10):
    omega_num = omega_expr.subs({m: m_value})
    print(f"当m={m_value}时，固有频率omega={omega_num}")

1. 不同方案优缺点：
   - 优点：
   • 瑞利里茨法是一种较为通用且有效的近似方法，通过选择合适的试函数可以较好地逼近真实解。
   • 利用切比雪夫多项式作为试函数可以在一定程度上提高计算精度，尤其是对于具有特定边界条件和函数形式的问题。
   • 缺点：
   • 试函数的选择对结果影响较大，如果选择不当可能导致精度不高或无法收敛。
   • 需要对圆柱壳的振动理论有深入理解，推导能量泛函和相关矩阵时较为复杂，容易出错。
2. 总结：
   - 要确定与固有频率对应的轴向波数(m)，需按照瑞利里茨法的步骤，选择合适的试函数，建立能量泛函并求解其极值得到固有频率与(m)的关系。通过对不同(m)值计算固有频率，找到符合要求的(m)值。这一过程涉及到圆柱壳振动理论、能量泛函的推导以及线性方程组的求解等多个步骤，需要严谨的理论分析和计算。

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