共集和共基放大电路高频响应

Question

在放大电路高频响应参考文章中,几乎没有人讲到共集放大电路和共基放大电路的高频响应详细的数学推导过程,请专家能否详细介绍教科书上没有的这两个放大电路的高频响应及其详细的数学理论推导.

Answer 1

晚上好🌙🌙🌙
本答案参考通义千问

在电子电路中，共集（射极跟随器）放大电路和共基放大电路是三种基本组态（共射、共集、共基）中的两种。虽然教科书通常更详细地讲解共射放大电路的高频响应，但共集和共基放大电路的高频特性同样重要，尤其是在高频应用中。

下面我们将对这两个电路进行详细的数学推导，分析它们的高频响应特性，包括增益下降的原因、截止频率的计算以及如何改善高频性能。

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一、共集放大电路（射极跟随器）的高频响应

1. 电路结构与特点

• 输入端：基极
• 输出端：发射极
• 共地端：集电极（接电源）
• 特点：电压增益接近1，输入阻抗高，输出阻抗低

2. 高频响应分析目标

我们需要分析该电路在高频段（如MHz以上）的增益下降原因，并推导其高频截止频率。

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3. 等效模型与小信号分析

3.1 小信号模型

对于NPN晶体管，我们采用混合π模型：

• $ r_{\pi} = \frac{V_T}{I_B} $
• $ g_m = \frac{I_C}{V_T} $
• $ C_{\pi} = C_{be} $（基极-发射极结电容）
• $ C_{\mu} = C_{bc} $（基极-集电极结电容）

3.2 共集电路的小信号等效图

在共集电路中，输入信号加在基极，输出从发射极取出，集电极接地（或接电源）。此时，晶体管的输出电阻为 $ r_o $，但由于输出是从发射极取的，所以可以忽略集电极的影响。

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4. 高频响应的数学推导

4.1 增益表达式

设输入电压为 $ V_{in} $，输出电压为 $ V_{out} $，则：

$$ A_v = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{g_m R_E}{1 + g_m R_E} $$

当频率升高时，晶体管的寄生电容会引入相位滞后，导致增益下降。

4.2 高频等效电路

在高频下，需要考虑以下电容：

• $ C_{\pi} $：基极-发射极结电容
• $ C_{\mu} $：基极-集电极结电容
• $ C_{out} $：负载电容（如后级电路的输入电容）

由于共集电路中，集电极不参与输出，因此主要影响的是基极-发射极结电容和输出电容。

4.3 高频增益表达式

将上述电容引入到小信号模型中，得到一个传递函数：

$$ A_v(j\omega) = \frac{g_m R_E}{1 + g_m R_E} \cdot \frac{1}{1 + j\omega \tau_1} \cdot \frac{1}{1 + j\omega \tau_2} $$

其中：

• $ \tau_1 = C_{\pi} (r_{\pi} + R_B) $：输入侧时间常数
• $ \tau_2 = C_{out} R_L $：输出侧时间常数

4.4 截止频率

两个时间常数对应的截止频率分别为：

• $ f_{c1} = \frac{1}{2\pi \tau_1} $
• $ f_{c2} = \frac{1}{2\pi \tau_2} $

总的高频截止频率为较小的那个，即：

$$ f_H = \min(f_{c1}, f_{c2}) $$

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5. 高频响应的改善方法

• 减小 $ C_{\pi} $ 和 $ C_{out} $：使用高频晶体管或减小外部电容
• 增加 $ R_B $ 或 $ R_L $：提高输入/输出阻抗，延缓截止频率
• 使用补偿电容（如Miller电容）来稳定频率响应

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二、共基放大电路的高频响应

1. 电路结构与特点

• 输入端：发射极
• 输出端：集电极
• 共地端：基极
• 特点：电压增益高，输入阻抗低，输出阻抗高

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2. 高频响应分析目标

分析共基电路在高频下的增益下降机制，并推导其高频截止频率。

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3. 等效模型与小信号分析

3.1 小信号模型

同样使用混合π模型，但此时输入信号加在发射极，输出在集电极。

3.2 高频等效电路

共基电路中，由于输入端是发射极，所以基极-发射极电容 $ C_{\pi} $ 对高频响应影响较大。

同时，基极-集电极电容 $ C_{\mu} $ 也会影响高频响应，因为它是反馈电容，会在高频下引入负反馈，从而降低增益。

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4. 高频响应的数学推导

4.1 增益表达式

假设输入为 $ V_{in} $，输出为 $ V_{out} $，则：

$$ A_v = \frac{V_{out}}{V_{in}} = -g_m R_L $$

当频率升高时，Miller效应显著，使得 $ C_{\mu} $ 在输入端等效为更大的电容，从而降低高频响应。

4.2 高频等效电路

在高频下，$ C_{\mu} $ 的影响被放大，相当于在输入端增加了一个电容：

$$ C_{eq} = C_{\mu}(1 + g_m R_L) $$

这会导致输入端的时间常数变大，从而降低高频响应。

4.3 传递函数

$$ A_v(j\omega) = -g_m R_L \cdot \frac{1}{1 + j\omega \tau} $$

其中：

$$ \tau = (C_{\pi} + C_{eq}) R_{in} $$

• $ R_{in} $ 是输入电阻（发射极电阻）
• $ C_{eq} = C_{\mu}(1 + g_m R_L) $

4.4 截止频率

$$ f_H = \frac{1}{2\pi \tau} $$

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5. 高频响应的改善方法

• 使用高频晶体管（如GaAs FET、双极型晶体管）
• 减小 $ C_{\mu} $：选择低寄生电容的器件
• 使用补偿电容或频率补偿技术来抵消Miller效应
• 优化偏置电路，避免进入非线性区

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三、总结：共集与共基放大电路的高频响应对比

| 特性 | 共集放大电路 | 共基放大电路 | |------|----------------|----------------| | 输入阻抗 | 高 | 低 | | 输出阻抗 | 低 | 高 | | 电压增益 | 接近1 | 高 | | 高频响应 | 受 $ C_{\pi} $ 和 $ C_{out} $ 影响 | 受 $ C_{\pi} $ 和 $ C_{\mu} $ 影响 | | 截止频率公式 | $ f_H = \min(f_{c1}, f_{c2}) $ | $ f_H = \frac{1}{2\pi \tau} $，$ \tau = (C_{\pi} + C_{eq}) R_{in} $ |

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四、代码示例：使用Python模拟共集和共基电路的高频响应

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import TransferFunction

# 定义共集电路的传递函数
def common_collector_transfer_function(C_pi, R_B, R_E, C_out, R_L):
    # 输入侧时间常数
    tau1 = C_pi * (R_B + R_E)
    # 输出侧时间常数
    tau2 = C_out * R_L
    # 传递函数
    num = [1]
    den = [tau1, 1]  # 输入侧
    den2 = [tau2, 1] # 输出侧
    return TransferFunction(num, den), TransferFunction(num, den2)

# 定义共基电路的传递函数
def common_base_transfer_function(C_pi, R_in, C_mu, g_m, R_L):
    C_eq = C_mu * (1 + g_m * R_L)
    tau = (C_pi + C_eq) * R_in
    return TransferFunction([1], [tau, 1])

# 示例参数
C_pi = 1e-12  # 1pF
R_B = 1e3     # 1kΩ
R_E = 1e3     # 1kΩ
C_out = 10e-12  # 10pF
R_L = 1e3     # 1kΩ
g_m = 1e-3    # 1mS
C_mu = 1e-12  # 1pF
R_in = 100    # 100Ω

# 计算传递函数
sys_cc, sys_cc_out = common_collector_transfer_function(C_pi, R_B, R_E, C_out, R_L)
sys_cb = common_base_transfer_function(C_pi, R_in, C_mu, g_m, R_L)

# 绘制Bode图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.title('Common Collector Frequency Response')
plt.grid(True)
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
w, mag = sys_cc.bode(n=1000)
plt.plot(w, mag)

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.title('Common Base Frequency Response')
plt.grid(True)
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
w, mag = sys_cb.bode(n=1000)
plt.plot(w, mag)

plt.tight_layout()
plt.show()

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五、结论

• 共集放大电路的高频响应主要受基极-发射极电容 $ C_{\pi} $ 和输出电容 $ C_{out} $ 影响。
• 共基放大电路的高频响应则受到基极-发射极电容 $ C_{\pi} $ 和Miller电容 $ C_{\mu} $ 的影响，尤其在高频下，Miller效应显著。
• 通过优化晶体管选择、减少寄生电容、合理设计偏置电路等方式，可以有效提升这两个电路的高频性能。

如需进一步分析具体电路或仿真，欢迎提供电路图或参数。