自动化work 设计二阶系统矫正（只需要计算）

Question

自动化work
设计二阶系统矫正（只需要计算）
手工设计适当的串联校正装置

Answer 1

下午好🌅🌅🌅
本答案参考通义千问

在自动化控制中，二阶系统矫正（也称为系统校正）是通过设计适当的控制器来改善系统的动态性能（如响应速度、超调量、稳态误差等）。对于二阶系统，通常的结构为：

$$ G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} $$

其中：

• $ \omega_n $：无阻尼振荡频率
• $ \zeta $：阻尼比

---

✅ 目标

设计一个串联校正装置（如比例、积分、微分或组合形式），使得系统满足以下要求之一或多个：

1. 减小超调量；
2. 提高响应速度；
3. 改善稳态误差；
4. 增加相位裕度。

---

🧠 设计思路（只需计算）

1. 确定原始系统参数

首先，你需要知道原系统的开环传递函数。例如：

$$ G_0(s) = \frac{K}{s(s + a)} $$

这是典型的二阶系统（假设 $ a $ 是常数）。

---

2. 分析原始系统性能

计算原始系统的闭环特征方程，并分析其阻尼比 $ \zeta $ 和 无阻尼振荡频率 $ \omega_n $。

举例：

假设原系统为：

$$ G_0(s) = \frac{10}{s(s + 2)} $$

则闭环传递函数为：

$$ \frac{G_0(s)}{1 + G_0(s)} = \frac{10}{s^2 + 2s + 10} $$

对应标准二阶系统形式：

$$ \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} $$

比较可得：

• $ \omega_n^2 = 10 \Rightarrow \omega_n = \sqrt{10} $
• $ 2\zeta\omega_n = 2 \Rightarrow \zeta = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316 $

---

3. 设计校正装置

根据性能需求，选择合适的校正方式。常见的校正方式包括：

| 校正类型 | 作用 | 传递函数 | |----------|------|-----------| | 比例（P） | 改变增益 | $ K_c $ | | 积分（I） | 消除稳态误差 | $ \frac{K_c}{s} $ | | 微分（D） | 提高响应速度 | $ K_c s $ | | PID | 综合改善 | $ K_c \left(1 + \frac{1}{sT_i} + sT_d\right) $ |

---

4. 选择合适的校正器

根据系统需求选择校正器。比如，若要提高响应速度，可以选择比例+微分（PD）；若要减小稳态误差，可以使用比例+积分（PI）。

示例：使用 PD 控制器

假设我们希望提高系统响应速度，设计一个 PD 控制器：

$$ C(s) = K_c (1 + T_d s) $$

将 PD 控制器与原系统串联后，新的开环传递函数为：

$$ G_c(s) = C(s) \cdot G_0(s) = K_c (1 + T_d s) \cdot \frac{10}{s(s + 2)} $$

---

5. 计算新系统参数

将新的开环传递函数代入闭环系统公式：

$$ \frac{G_c(s)}{1 + G_c(s)} = \frac{K_c (1 + T_d s) \cdot \frac{10}{s(s + 2)}}{1 + K_c (1 + T_d s) \cdot \frac{10}{s(s + 2)}} $$

化简后，得到新的闭环特征方程，再从中提取 $ \zeta $ 和 $ \omega_n $，进行性能对比。

---

🔧 解决方案（只需计算）

1. 确定原始系统参数

   • 原系统开环传递函数：$ G_0(s) = \frac{10}{s(s + 2)} $
   • 闭环传递函数：$ \frac{10}{s^2 + 2s + 10} $
   • 对应二阶系统参数：
     • $ \omega_n = \sqrt{10} $
     • $ \zeta = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316 $

2. 设计校正装置

   • 选择 PD 控制器：$ C(s) = K_c (1 + T_d s) $
   • 新开环传递函数：
     $$ G_c(s) = K_c (1 + T_d s) \cdot \frac{10}{s(s + 2)} $$

3. 计算新系统闭环特性

   • 闭环传递函数：
     $$ \frac{G_c(s)}{1 + G_c(s)} = \frac{K_c (1 + T_d s) \cdot \frac{10}{s(s + 2)}}{1 + K_c (1 + T_d s) \cdot \frac{10}{s(s + 2)}} $$
   • 化简后，得到新的特征方程，从而求出新的 $ \omega_n $ 和 $ \zeta $

4. 调整参数以满足性能要求

   • 若 $ \zeta < 0.7 $，需增大 $ T_d $ 或 $ K_c $ 来提高阻尼比
   • 若 $ \omega_n $ 太小，可适当增加 $ K_c $ 提高响应速度

---

📌 修改后的代码（示例）

import sympy as sp

# 定义变量
s = sp.symbols('s')
Kc, Td = sp.symbols('Kc Td')

# 原系统
G0 = 10 / (s * (s + 2))

# PD 校正器
C = Kc * (1 + Td * s)

# 新开环传递函数
Gc = C * G0

# 闭环传递函数
Gcl = Gc / (1 + Gc)

# 展开并化简
Gcl_simplified = sp.simplify(Gcl)

print("闭环传递函数：")
sp.pretty_print(Gcl_simplified)

---

✅ 总结

• 原始系统：$ G_0(s) = \frac{10}{s(s + 2)} $
• 设计控制器：PD 控制器 $ C(s) = K_c(1 + T_d s) $
• 目标：提高系统响应速度，优化阻尼比
• 关键参数：$ \omega_n $ 和 $ \zeta $ 可通过特征方程计算得出

最终结果取决于你设定的性能指标和所选校正器的参数。