LGB3836[GESP202303 二级] 百鸡问题

Question

题目描述
“百鸡问题”是出自我国古代《张丘建算经》的著名数学问题。大意为：

“每只公鸡
5
5 元，每只母鸡
3
3 元，每
3
3 只小鸡
1
1 元；现在有
100
100 元，买了
100
100 只鸡，共有多少种方案？”

小明很喜欢这个故事，他决定对这个问题进行扩展，并使用编程解决：如果每只公鸡
x
x 元，每只母鸡
y
y 元，每
z
z 只小鸡
1
1 元；现在有
n
n 元，买了
m
m 只鸡，共有多少种方案？

输入格式
输入一行，包含五个整数，分别为问题描述中的
x
x，
y
y，
z
z，
n
n，
m
m。约定
1
≤
x
,
y
,
z
≤
10
1≤x,y,z≤10，
1
≤
n
,
m
≤
1000
1≤n,m≤1000。

输出格式
输出一行，包含一个整数
C
C，表示有
C
C 种方案。

输入 #1
复制
5 3 3 100 100
输出 #1
复制
4
输入 #2
复制
1 1 1 100 100
输出 #2
复制
5151
提示
【样例 1 解释】

这就是问题描述中的“百鸡问题”。
4
4 种方案分别为：

公鸡
0
0 只、母鸡
25
25 只、小鸡
75
75 只。
公鸡
4
4 只、母鸡
18
18 只、小鸡
78
78 只。
公鸡
8
8 只、母鸡
11
11 只、小鸡
81
81 只。
公鸡
12
12 只、母鸡
4
4 只、小鸡
84
84 只。

Answer 1

阿里嘎多学长整理AIGC生成，因移动端显示问题导致当前答案未能完全显示，请使用PC端查看更加详细的解答过程

百鸡问题解决方案

题目描述的百鸡问题是一个经典的数学组合问题。我们可以使用递归或动态规划来解决这个问题。

动态规划解决方案

#include <iostream>
#include <vector>

int main() {
    const int MAX_MONEY = 100100;
    const int MIN_CHICKEN = 0;
    const int MAX_CHICKEN = 1000;

    // 动态规划表
    std::vector<std::vector<int>> dp(MAX_MONEY + 1, std::vector<int>(MAX_CHICKEN + 1, 0));

    // base case
    for (int i = MIN_CHICKEN; i <= MAX_CHICKEN; ++i) {
        dp[0][i] = 1;
    }

    // fill up the dp table
    for (int money = 1; money <= MAX_MONEY; ++money) {
        for (int chicken = MIN_CHICKEN; chicken <= MAX_CHICKEN; ++chicken) {
            // 公鸡
            dp[money][chicken] += dp[money - 55][chicken - 1];
            // 母鸡
            dp[money][chicken] += dp[money - 33][chicken - 1];
            // 小鸡
            dp[money][chicken] += dp[money - 11][chicken - 33];
        }
    }

    int count = 0;
    for (int i = 0; i <= MAX_MONEY; ++i) {
        count += dp[i][100];
    }

    std::cout << count << std::endl;

    return 0;
}

解释

上述代码使用动态规划来解决百鸡问题。我们首先创建一个动态规划表 (dp)，其中每个元素代表有 money 元钱购买 chicken 只鸡的方法数。

我们从 base case 开始，假设没有钱购买 0 只鸡的方法数为 1。

然后，我们填充动态规划表，根据以下规则：

• 公鸡：如果有 money 元钱购买 chicken 只鸡的方法数等于有 money - 55 元钱购买 chicken - 1 只鸡的方法数。
• 母鸡：如果有 money 元钱购买 chicken 只鸡的方法数等于有 money - 33 元钱购买 chicken - 1 只鸡的方法数。
• 小鸡：如果有 money 元钱购买 chicken 只鸡的方法数等于有 money - 11 元钱购买 chicken - 33 只鸡的方法数。

最终，我们计算有 100100 元钱购买 100 只鸡的方法数，并输出结果。

注意

这个解决方案可以扩展到其他类型的问题，也可以通过优化算法来提高效率。