三色汉诺塔中如何用C++实现同色盘不叠放的合法性校验？

Question

在实现三色汉诺塔（盘片按红、黄、蓝三色编号）时，除满足经典汉诺塔“小盘在大盘上”的尺寸约束外，还需校验**同色盘不可叠放**——即任意一根柱子上，相邻两盘若颜色相同则视为非法状态。常见技术问题在于：如何在移动操作后高效、准确地验证该约束？尤其当使用`std::stack`或`std::vector`模拟柱子时，仅检查栈顶两元素颜色易遗漏中间段（如[红, 黄, 红]合法，但[红, 黄, 红, 红]因末两位同色而非法）；若每次遍历整柱检查相邻色，又影响递归求解性能；此外，颜色编码方式（如用低2位表示色、高位表示大小）与尺寸合法性耦合时，易引发位运算误判。开发者常忽略“空柱”边界处理或误将颜色比较逻辑置于移动前而非状态校验点，导致非法状态漏检。如何设计轻量、幂等、可嵌入回溯/迭代框架的校验接口，是工程落地的关键难点。

Answer 1

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一、问题本质解构：三色约束的双重校验维度

三色汉诺塔并非单纯的颜色标签附加，而是引入了正交约束空间：尺寸序（全序关系，≤）与颜色邻接（二元禁止关系，¬(cᵢ == cᵢ₊₁)）。二者不可耦合验证——尺寸合法性决定“能否放”，颜色合法性决定“能否留”。常见误判根源在于将color_mask & disk嵌入尺寸比较逻辑（如(a >> 2) < (b >> 2)），导致当disk=0b1011（红=3，尺寸=2）与0b1100（蓝=0，尺寸=3）比较时，位截断引发尺寸误判。空柱边界亦常被忽略：stack.size() < 2时直接跳过校验，却未覆盖单盘柱（合法）与空柱（无相邻对，天然合法）的语义差异。

二、典型实现陷阱与性能反模式

• 栈顶双元素校验幻觉：仅比对top()与second_top()，遗漏中间段违规（如vector=[R,Y,R,R]中索引2-3违规）
• 全量遍历暴力校验：每次移动后O(n)扫描整柱，递归深度O(2ⁿ)下总成本升至O(n·2ⁿ)，n=12即超百万次冗余检查
• 编码耦合型位运算：用disk & 3取色、disk >> 2取尺寸，但未隔离修改域——当盘片支持动态重着色时，位域重叠导致不可维护
• 校验时机错位：在move(disk, from, to)函数入口校验“移动前状态”，而非在push()后、“递归调用前”校验“移动后终态”

三、轻量幂等校验接口设计：StateGuard模式

核心思想：将校验逻辑与数据结构解耦，通过const std::vector&输入实现幂等性（无副作用、可重复调用），并利用局部缓存规避重复计算：

struct Disk { 
  uint8_t size;  // 1~n，保证全序
  uint8_t color; // 0=R, 1=Y, 2=B，独立域
};
bool isValidStack(const std::vector<Disk>& rod) {
  if (rod.size() <= 1) return true; // 空柱/单盘柱天然合法
  for (size_t i = 0; i < rod.size() - 1; ++i) {
    if (rod[i].color == rod[i+1].color) return false;
  }
  return true;
}

四、工程级优化：增量式脏标记与缓存策略

策略	时间复杂度	适用场景	实现要点
全量校验	O(n)	调试期/小规模(n≤8)	代码最简，直接复用isValidStack
末位增量校验	O(1)	生产环境高频递归	仅检查新入栈盘与原栈顶颜色是否相同（需维护last_color字段）

五、状态一致性保障机制

为嵌入回溯框架，定义严格的状态校验契约：

1. 所有移动操作必须原子化：先pop()再push()，且仅在push()成功后触发校验
2. 校验失败时立即抛出std::invalid_argument("color adjacency violation")，不回滚（由调用方处理）
3. 提供isStateValid(const Rods& state)批量接口，支持三柱联合校验（避免单柱合法但全局违反约束）

六、可视化校验流程（Mermaid）

flowchart TD
    A[执行 move disk from A to B] --> B[Pop from A]
    B --> C[Push to B]
    C --> D{B.size ≥ 2?}
    D -- Yes --> E[Compare B[B.size-2].color == B[B.size-1].color]
    D -- No --> F[Valid: no adjacent pair]
    E -- True --> G[Return false]
    E -- False --> H[Return true]
    G --> I[Throw exception]
    H --> J[Proceed to recursion]

七、颜色编码规范与尺寸解耦实践

采用结构体而非位域，彻底分离关注点：

enum class Color : uint8_t { RED = 0, YELLOW = 1, BLUE = 2 };
struct Disk {
  size_t size;   // 1-based, natural integer
  Color color;   // type-safe enum, no implicit conversion
  Disk(size_t s, Color c) : size(s), color(c) {}
};
// ✅ 安全比较：if (a.size < b.size) ...
// ✅ 安全着色：disk.color = Color::BLUE;

八、回溯框架集成示例

校验接口无缝嵌入经典递归骨架：

void solveHanoi(int n, Rod& src, Rod& dst, Rod& aux) {
  if (n == 0) return;
  solveHanoi(n-1, src, aux, dst);
  auto disk = src.pop();
  dst.push(disk);
  if (!isValidStack(dst)) { // 关键校验点：移动后立即验证
    dst.pop(); src.push(disk); // 回滚并剪枝
    return;
  }
  solveHanoi(n-1, aux, dst, src);
}

九、边界测试用例集

• [] → true（空柱）
• [R] → true（单盘）
• [R,Y,R] → true（交替合法）
• [R,Y,R,R] → false（末两位同色）
• [R,Y,Y,B] → false（中间Y-Y违规）
• [R,Y,B,R,Y] → true（全交替）

十、演进式架构建议

面向未来扩展（如四色、纹理约束），推荐采用策略模式封装校验器：

class ConstraintValidator {
public:
  virtual bool validate(const std::vector<Disk>&) const = 0;
};
class ColorAdjacencyValidator : public ConstraintValidator {
  bool validate(const std::vector<Disk>& rod) const override;
};
// 可动态组合：CompositeValidator({size_validator, color_validator})

```