三门问题模拟实验时的疑惑

Question

换门概率是2/3，但值仅与嘉宾先选门概率与初始概率有关(1-Σpiqi)。只要嘉宾选门均等或初始分布均匀，是或者，答案都是2/3，，而教学实际模拟实验，往往不是标准的三门问题(如嘉宾总是选固定门，或主持人在两个羊门不是等可能)，但是换门也是2/3。与主持人打开羊概率无关，我认为是这样。你们认为对不对

Answer 1

让 “紫雾凌寒” 来帮你回答,本回答结合 DeepSeek

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1. 关键点分析：
   - 核心在于理解三门问题中换门概率的计算原理以及实际模拟实验与理论情况的差异。
   - 理论上换门概率为(2/3)，其推导基于初始概率分布和嘉宾选择门的方式。
   - 实际模拟实验可能因嘉宾选择门的规律（如总是选固定门）而偏离标准的三门问题情境，从而影响换门概率的体现。
2. 解决方案：
   - 标准三门问题的概率推导：
   • 假设初始三扇门后有奖品的概率均为(1/3)，嘉宾先选一扇门，记为(A)门。
   • 主持人知道奖品所在门，他会打开一扇没有奖品的门，记为(B)门。
   • 此时剩下两扇门，嘉宾最初选的(A)门中奖概率仍为(1/3)，那么另一扇未选且未被打开的门（记为(C)门）中奖概率就是(1 - 1/3 = 2/3)。
   • 实际模拟实验的情况分析：
   • 嘉宾总是选固定门：
   • 假设嘉宾总是选第一扇门。
   • 当奖品在第一扇门时，主持人打开一扇无奖品门后，若嘉宾换门则不中奖。
   • 当奖品不在第一扇门时，主持人打开一扇无奖品门后，若嘉宾换门则中奖。
   • 因为奖品在每扇门的初始概率是(1/3)，所以这种情况下换门中奖的概率就是(2/3)。
   • 代码示例（Python模拟）：

import random

def simulate(choice_strategy):
    doors = [0, 1, 2]  # 0表示无奖品，1表示有奖品
    prize_door = random.choice(doors)
    if choice_strategy == 'fixed':
        guest_choice = 0
    elif choice_strategy == 'random':
        guest_choice = random.choice(doors)
    host_opens = [door for door in doors if door != prize_door and door != guest_choice][0]
    remaining_doors = [door for door in doors if door != guest_choice and door != host_opens]
    if guest_choice == prize_door:
        if choice_strategy == 'fixed':
            new_choice = remaining_doors[0]
        elif choice_strategy == 'random':
            new_choice = random.choice(remaining_doors)
        return new_choice != prize_door
    else:
        return remaining_doors[0] == prize_door

# 模拟嘉宾总是选固定门的情况
fixed_wins = 0
total_trials = 10000
for _ in range(total_trials):
    if simulate('fixed'):
        fixed_wins += 1
print(f'嘉宾总是选固定门时换门获胜概率: {fixed_wins/total_trials}')

# 模拟嘉宾随机选门的情况
random_wins = 0
for _ in range(total_trials):
    if simulate('random'):
        random_wins += 1
print(f'嘉宾随机选门时换门获胜概率: {random_wins/total_trials}')

1. 不同方案优缺点：
   - 优点：
   • 理论推导清晰严谨，能准确得出换门概率的本质原理。
   • 模拟实验直观，通过大量重复实验可以验证理论结果，并且可以方便地改变嘉宾选门策略来观察结果变化。
   • 缺点：
   • 理论推导相对抽象，对于初学者可能较难理解。
   • 模拟实验依赖于代码实现的准确性和随机性，如果随机数生成不准确或实验次数不够多，结果可能有偏差。
2. 总结：
   - 三门问题中换门概率为(2/3)是基于特定的概率原理。
   - 实际模拟实验中，无论嘉宾是总是选固定门还是随机选门，只要初始门的奖品分布均匀，换门概率理论上都是(2/3)。通过理论推导和模拟实验可以深入理解这一概率现象。

通过上述分析和解答，希望能帮助你更好地理解三门问题及其模拟实验中的相关疑惑。

希望以上解答对您有所帮助。如果您有任何疑问，欢迎在评论区提出。