为何推导牛顿方法时忽略了二阶泰勒展开式三阶导

Question

牛顿方法：
f(x)=f(xn)+f'(xn)(x-xn)+_1/2f''(xn)(x-xn)^2_
两边求导后
f'(x)=f'(xn)+f''(xn)(x-xn)
是忽略了三阶导吗？为何要忽略？

Answer 1

任何函数式都可以用泰勒展开式近似替代，展开的项越多就越相近，然而泰勒展开的项是无限多的，除了某些特殊的函数式可以用泰勒展开式精确地表示外，其他的都只能是近似。根据实际精度需求，可以用有限阶数的泰勒展开式替代原来的函数式。牛顿迭代法采用近似逼近的方法来求根，这本来就不是精确的，而是近似。既然牛顿迭代法是求得是近似值，那么构造牛顿迭代式自然也就是近似的了，因此可以用二阶的泰勒展开式近似替代原来的函数式，只要构造式是收敛的，甚至用一阶泰勒展开式替代也是可以的（近似于线性的函数式就可以这么做）。当然，你可以用更高阶的泰勒展开式来替代，比如三阶，四阶。。。。。，这样构造出来的牛顿迭代式也可能是收敛的，但是推导麻烦，式子冗长，可能计算消耗时间多，收敛速度慢。有的时候，用二阶泰勒展开式构造的迭代式在指定的区间内不收敛，你可以考虑用更高阶的泰勒展开式来构造迭代式。