正方形边上的四只独角狗防得住正方形里的萌鼠么？

Question

如图，正方形ABCD的中心有一只萌鼠，正方形的四个顶点各有一只气呼呼的独角狗想要抓住萌鼠，四只独角狗只能在正方形边界上移动，且速度不超过10cm/s，假设萌鼠足够聪明，萌鼠至少要跑多快才能保证不被抓住逃离正方形？

萌鼠的最优策略是：朝着一个顶点(不妨设为A)移动，直到它与A处的独角狗的距离小于到其他所有独角狗距离的一半时，旋转90°移动。在这样策略的情况下，只需萌鼠的速度高于5√2*cm/s，就可以保证跑出正方形。谁能解释下这个策略为什么最优？

Answer 1

我认为这个想法不对。问题中没有给出狗的追逐策略，可以且应该理解为狗可以以任意策略追逐。否则，我假设狗采用永远不动坐等的策略，在这种情况下以任意速度都可以实现。

补充一下：2022/09/08
这个问题似乎比想象的复杂的多。
（1）显然，萌鼠与狗的大小应忽略不计，而被视为质点。同样，萌鼠与狗的转向时间，加速时间，应该忽略不计。
（2）狗的策略。问题中没有给出狗的策略，但“保证不被抓住”需要理解为对于任何狗的策略都可以满足条件。
（3）因此，题目中给出的策略“朝着顶点A，直到它与A处的独角狗的距离小于到其他所有独角狗距离的一半时，..."是不成立的。因为当萌鼠朝着顶点A运动时，与A点相邻的二狗可以向顶点A运动。于是，“直到...小于...时“永远无法满足。
（4）进一步地，可以总结狗的最佳策略：
1）当萌鼠朝着与本狗的直线方向运动时，本狗不动；
2）当萌鼠朝着与本狗之间直线方向的一侧运动时，本狗沿该侧的边运动。
简单说，各狗的控制变量是运动速度，包括方向和速率，其最优策略为：
1）速率为 BangBang 控制，即或者静止，或者按最大速率运动——此点很好证明；
2）于是各狗的选择只有 3项，向前跑、静止、向后跑；
3）各狗的最优选择是，以减小（最小化）当前的与萌鼠的距离为目标，从 3种方案中选择减小距离的方案（有且只有一种）。
在此基础上，我们才能讨论萌鼠“保证不被抓”的逃脱方案和最小速度。具体方案下次再说。