在右手直角坐标系I={O,e1,e2}中,设f是把直线x.=0变为x=1,把直线y=0变为y=2。把点(1,2)变为(2,0)的仿射变换,
一,求f在I中的变换公式,
二,证明f是保距变换
三,判断f是平移,反射,旋转,滑反射中的哪一种,并证明
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- CCPro- 2023-02-22 21:17关注
在直角坐标系l={O,e1,e2}中,设f是将直线x=0变为x=1,将直线y=0变为y=2,将点(1,2)变为(2,0)的仿射变换。我们需要找到该变换的矩阵表示。
首先,由于该变换将直线x=0变为x=1,因此它必须保持直线y=0不变。同样地,它将直线y=0变为y=2,因此必须保持直线x=0不变。因此,该变换的矩阵表示为:
[ 0 1 1 ]
[ 2 0 -1 ]
[ 0 0 1 ]
其中,第一行表示e1的变换,第二行表示e2的变换,第三行表示平移。其次,该变换将点(1,2)变为(2,0),因此可以计算出平移向量为
[ 1 ]
[-2 ]
[ 0 ]
因此,该变换的矩阵表示为:
[ 0 1 1 ]
[ 2 0 -1 ]
[ 0 0 1 ] * [x, y, 1]' + [ 1, -2, 0]'
其中,[x, y, 1]'表示齐次坐标。要证明f是保距变换,需要证明对于所有的向量u和v,它们之间的欧几里得距离与它们在f下的像之间的欧几里得距离相等,即:
||f(u) - f(v)|| = ||u - v||根据矩阵变换的定义,我们可以将其展开为:
||Au - Av|| = ||u - v||
其中,A表示f的矩阵表示。
现在,我们可以计算矩阵A和它的转置矩阵AT的乘积,得到:
A * AT =
[ 2 0 0 ]
[ 0 1 2 ]
[ 0 2 5 ]这是一个对称矩阵,因此它的特征值都是实数。此外,由于它是正定矩阵,因此它的特征值都是正数。
因此,对于所有的向量u和v,我们都有:
||Au - Av||^2 = (Au - Av)T * (Au - Av) = (u - v)T * A * AT * (u - v) = λ||u - v||^2
其中,λ表示A * AT的最小特征值。因为λ是正数,所以该变换是保距变换。
根据前面的计算结果,我们可以发现 f既不是平移,也不是反射,也不是旋转。对于滑反射,我们可以利用其定义,即一个线性变换加上一个平移变换的组合来进行判断。
设 f' 是一个平移变换,将 (1, 2) 映射到 (2, 0)$,即 f'(1, 2) = (2, 0)。则 f - f' 是一个线性变换,我们将其记为 A。则有 A \cdot (1, 0) = (2, -2) 和 A \cdot (0, 1) = (-1, 2)。根据线性变换的定义,我们可以得到 A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 2 \end{pmatrix}。于是可以得到 f = f' + A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -2 & 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 2 \end{pmatrix},其中 t 是任意实数。
因此,f 是滑反射变换,其将直线 x=0映射为直线x=1,将直线 y=0映射为直线 y=2,并且保持了点(1,2) 到 (2,0) 的距离不变。
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