求解高等代数相关问题解答

Question

设GLn(R)={Ae Mn(R) I IAI≠0｝为一般线性群.对任意B∈GLn（R)，定义
TB:GLn(R)→GLn(R),
A→BA(B-1)
（1）证明Ta是群GLn(R）的一个自同构.
(2)求 ∩ ｛A∈GLn(R）I TB(A)=A}.
B∈GLn(R)

Answer 1

基于Monster 组和GPT的调写：
(1) 要证明$T_a$是群$GL_n(R)$的自同构，需满足以下三个条件：

• T_a是一个映射：即对于任意A\in GL_n(R)，$T_a(A)都是一个GL_n(R)中的矩阵。

• T_a是一个同态：即对于任意A,B\in GL_n(R)，有T_a(AB)=T_a(A)T_a(B)。

• T_a是一个双射：即$T_a$是一个一一映射，并且它的逆映射T_a^{-1}也是一个映射。
  首先证明条件1：对于任意A\in GL_n(R)，T_a(A)都是一个GL_n(R)中的矩阵。显然T_a(A)的行列式为

• |T_a(A)|=|BA(B^{-1})|=|B||A||B^{-1}|=|A|

由于A\in GL_n(R)，所以|A|\neq 0，即T_a(A)\in GL_n(R)。

• 接着证明条件2：对于任意A,B\in GL_n(R)，有T_a(AB)=T_a(A)T_a(B)。由于

T_a(AB)=BAB^{-1}=BT_a(A)B^{-1}=T_a(A)T_a(B)

• 因此T_a是一个同态。

• 最后证明条件3：$T_a$是一个双射。首先证明T_a是一个单射，即对于任意A,B\in GL_n(R)，如果T_a(A)=T_a(B)，则A=B。有

T_a(A)=T_a(B)\Rightarrow BAB^{-1}=A\Rightarrow BA=AB

• 因为B\in GL_n(R)，所以B^{-1}存在，因此可以从左右两侧同时乘以B^{-1}得到A=B。因此T_a是一个单射。

• 接着证明T_a是一个满射，即对于任意A\in GL_n(R)，都存在一个B\in GL_n(R)，使得T_a(B)=A。可以取B=a^{-1} A a，则有

T_a(B)=BaB^{-1}=a^{-1}Aaa^{-1}A^{-1}a=a^{-1}AA^{-1}a=A

• 因此T_a是一个满射。

• 由上述三个条件可知，T_a是一个群GL_n(R)的自同构。

二.

• 对于任意的 B \in GL_n(R)，定义 T_B : GL_n(R) \to GL_n(R)，A \mapsto B A B^{-1}，已经证明 T_B 是 GL_n(R) 的一个自同构。

接下来，我们需要求解集合 \cap { A \in GL_n(R) \mid T_B(A) = A}。

• 注意到 T_B 是一个自同构，因此 T_B(A) = A 等价于 A = T_B^{-1}(A) = B^{-1} A B，即 A 和 B 共轭。因此，我们可以重写要求解的交集为：

\cap {A \in GL_n(R) \mid A = B C B^{-1} \text{ for some } C \in GL_n(R)}

• 为了求解这个交集，我们可以考虑 $B$ 的不同特征值的情况。设 $B$ 的不同特征值为 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$，它们各自的代数重数为 m_1, \ldots, m_k。

• 如果B 有重复的特征值，我们可以通过对 B 进行合同变换将其变成一个块对角矩阵，其中每个块都是一个 Jordan 块。因此，我们可以假设 B 已经是一个块对角矩阵，每个块都是一个 Jordan 块。

• 在这个假设下，我们可以考虑每个 Jordan 块的情况。设 $B$ 的一个 Jordan 块为 $J(\lambda, m)$，表示一个大小为 $m \times m$ 的 Jordan 块，其对应的特征值为 $\lambda$。设 $A$ 也可以写成块对角矩阵的形式，每个块的大小与 $J(\lambda, m)$ 相同。

• 如果 A 与 J(\lambda, m) 不相似，那么它们一定不能共轭，因此我们可以限制每个块都是 J(\lambda, m)。此时，我们只需要求解每个块的形式，即

{ C \in GL_m(R) \mid C J(\lambda, m) C^{-1} = J(\lambda, m)}

• 根据 Jordan 标准型的结论，上式等价于 $C$ 是一个 $m \times m$ 的可逆矩阵，其第 i 列由 Jordan 矩阵的第 i列线性组合而成。因此，上式的解为GL_m(R)。

• 综上所述，对于每个 Jordan 块，对应的解集为 GL_m(R)。因此，整个交集的解为 GL_{m_1}(R) \times \cdots \times GL_{m_k}(R)，即一个分块对角矩阵，每个块的大小为 \lambda_i 的代数重数。