看不懂例13.2.5的证明过程中f(a+b)这一步骤,求解答。
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- dahe0825 2023-03-05 18:34关注
这道题的证明过程中,涉及到了同余运算(modulo operation)的性质。
在同余运算中,如果a≡b(mod m),则a和b在模m下同余,也就是说,a和b除以m所得到的余数相同。例如,10≡4(mod 3),因为10和4在模3下都余1。
现在我们来看例13.2.5的证明过程:
(1) 要证明f是从半群<N,+>到<6,+6>的同态映射,需要证明对于任意的a、b∈N,都有f(a+b) = f(a)+f(b)。
根据f的定义,f(x) = x(mod 6),因此,f(a+b) = (a+b)(mod 6)。我们知道,(a+b)(mod 6)等于(a(mod 6)+b(mod 6))(mod 6)。因为模运算有结合律,所以(a(mod 6)+b(mod 6))(mod 6) = a(mod 6)+(b(mod 6))(mod 6) = a(mod 6)+b(mod 6)。
所以,f(a+b) = (a+b)(mod 6) = a(mod 6)+b(mod 6) = f(a)+f(b)。因此,f是从半群<N,+>到<6,+6>的同态映射。
(2) 要证明f是从含有幺元0的半群<N,+,0>到<6,+6,0>的同态映射,需要证明f(0) = 0。
由f的定义可知,f(0) = 0(mod 6)。因此,f(0) = 0。
综上所述,f是从含有幺元0的半群<N,+,0>到<6,+6,0>的同态映射。同时,根据同态映射的性质,如果f是从半群<A,>到半群<B,>的同态映射,那么如果<A,>是半群,则<B,>也是半群;如果<A,>是含有幺元的半群,则<B,>也是含有幺元的半群。
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