求讲这两个有限元解一维和二维传热问题的求解,罚函数法什么的,有限元分析太烧脑了
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- CodeBytes 2023-03-08 00:08关注
该回答引用ChatGPT
问题1
这是一个一维传热问题,可以使用数值方法进行求解。其中,A(ф)表示热传导方程,Q(x)表示热源分布。边界条件为φ(0)=φ(100)=0。 罚函数法是一种用于处理约束条件的方法,它将约束条件转化为目标函数的一部分,以惩罚违反约束条件的解。在本问题中,我们将边界条件转化为罚函数,即 f(φ) = A(φ) + a[φ(0)^2 + φ(100)^2] 其中,a是罚因子。当a趋近于无穷大时,边界条件对解的影响将越来越大,因此,我们可以通过调整a的大小来控制解的边界误差。 为了求解问题,我们可以使用有限差分方法。将区间[0,100]离散为N个点,取步长h=100/(N-1),则有: x[i] = (i-1)h, i = 1,2,...,N φ[i] ≈ φ(x[i]), i = 1,2,...,N 将热传导方程离散化,得到: φ[i-1] + (-2+Q[i]h^2)φ[i] + φ[i+1] = 0, i = 2,3,...,N-1 其中,Q[i]表示在x[i]处的热源分布。边界条件已经通过罚函数法转化为目标函数的一部分,因此我们不需要再考虑边界条件。 可以将上述方程写成矩阵形式: Aφ = b 其中,A是一个(N-2)×(N-2)的三对角矩阵,具体形式为: A[i,i] = -2+Q[i+1]h^2 A[i,i-1] = 1, i = 2,3,...,N-2 A[i,i+1] = 1, i = 1,2,...,N-3 b是一个(N-2)维的向量,具体形式为: b[i] = 0, i = 1,2,...,N-2 可以使用迭代法求解该线性方程组,例如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法等。在本问题中,我们选择SOR迭代法进行求解。 >具体步骤如下: 1、初始化φ[i]的值,通常可以设置为0。 2、进行SOR迭代,直到解收敛: (a) 对于每个i = 2,3,...,N-1,计算新的φ[i]的值: φ[i] = (1-w)φ[i] + (w/α[i])(-φ[i-1] - (-2+Q[i]h^2)φ[i] - φ[i+1] - aφ[i]) 其中,w是松弛因子,一般取值为1. (b) 计算解的范数: ||φ_new - φ_old|| = sqrt(Σ(φ_new[i] - φ_old[i])^2) 其中,φ_new和φ_old分别表示新旧两次迭代的解,||·||表示向量的2-范数。 (c) 如果解的范数小于某个给定的阈值tol,则认为解已经收敛,退出迭代;否则,将φ_new赋值给φ_old,继续进行下一次迭代。 3、计算解的边界误差,确定最优的罚因子a: (a) 计算边界误差: err = abs(φ[1]) + abs(φ[N]) 其中,abs表示绝对值函数。 (b) 如果err小于给定的阈值10^-6×|ф_max|,则认为边界误差已经足够小,退出求解;否则,增大罚因子a的值,重复步骤1和2,直到边界误差满足要求为止。 最终得到的φ(x)即为问题的解。 需要注意的是,在实际求解过程中,需要根据具体情况选择合适的参数,例如步长h、松弛因子w、阈值tol等。另外,由于矩阵A是一个稀疏矩阵,因此可以采用稀疏矩阵存储方式,以减少存储空间和计算时间。
问题2
为了导出该二维传热问题的矩阵形式,我们需要使用有限元方法来逼近弱形式。设Ω为问题的解域,Γ为其边界。我们首先将解域Ω离散化为n个单元Ωe,其中每个单元Ωe由一些节点组成,节点数为m。因此,总的节点数为N=nm。 令Φ(x,y)为问题的解,我们将其在每个单元Ωe上进行逼近: Φ(x,y)≈N(x,y)T 其中N(x,y)是每个节点的形函数,T是N个未知温度值的向量。因此,我们需要找到每个单元Ωe上的形函数N(x,y)。 假设Ωe为一个四边形,其四个顶点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)和(x4,y4)。我们可以使用双线性形函数来逼近Φ(x,y),即: Φ(x,y)≈a0 + a1x + a2y + a3xy 其中a0,a1,a2和a3是未知系数。我们可以使用Φ在每个顶点的值来确定这些系数,即: a0 = Φ(x1,y1) a1 = (Φ(x2,y2) - Φ(x1,y1))/(x2 - x1) a2 = (Φ(x3,y3) - Φ(x1,y1))/(y3 - y1) a3 = (Φ(x4,y4) - Φ(x2,y2) - Φ(x3,y3) + Φ(x1,y1))/(x2y3 - x3y2 - x1y3 + x3y1 + x1y2 - x2y1) 由此,我们可以得到每个单元Ωe上的形函数N(x,y): N1(x,y) = 1 - (x - x1)/(x2 - x1) - (y - y1)/(y3 - y1) + (x - x1)(y - y1)/((x2 - x1)(y3 - y1)) N2(x,y) = (x - x1)/(x2 - x1) - (x - x1)(y - y1)/((x2 - x1)(y3 - y1)) N3(x,y) = (y - y1)/(y3 - y1) - (x - x1)(y - y1)/((x2 - x1)(y3 - y1)) N4(x,y) = (x - x1)(y - y1)/((x2 - x1)(y3 - y1)) 现在我们可以将弱形式离散化为矩阵形式。首先,我们将其写成一个形式: a(Φ,δΦ) + b(Φ,δф) + c(ф,δф) = 0 其中a,b和c是算子,Φ和ф是未知函数,δΦ和δф是测试函数。我们使用形函数N(x,y)作为测试函数,即: δΦ =N(x,y) 我们还需要将Φ和ф用形函数N(x,y)展开,即: Φ(x,y) = ∑T_iN_i(x,y) ф(x,y) = ∑q_iN_i(x,y) 代入弱形式并应用分部积分,我们得到以下矩阵形式: [K]{T} + [B]{q} = {F} 其中,{T}和{q}是未知向量,[K]是导热矩阵,[B]是对流矩阵,{F}是热源向量。这些矩阵和向量的元素可以通过单元级的贡献来计算,即: [K]_ij = ∑∫Ωe k(x,y)▽N_i(x,y)·▽N_j(x,y)dΩ [B]_ij = ∑∫Γe n(x,y)N_i(x,y)N_j(x,y)dГ {F}_i = ∑∫Ωe Q(x,y)N_i(x,y)dΩ 其中,k(x,y)是热导率,n(x,y)是表面法向量,Q(x,y)是热源密度。 通过组装所有单元的贡献,我们可以得到整个系统的矩阵方程。这些方程可以使用数值方法求解,例如高斯消元或迭代法。最终,我们可以得到解向量{Φ}和{ф},从而确定问题的解。
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