请问如何寻找所有桥函数？

Question

如何找所有桥函数?
比如说，给定一个函数f(x)=1/(x-1)和g(x)=1/(x

+1)，如何找到所有函数h(x)，满足f(x)=h(-1)ººgºh(x)，这里h(-1)表示h的反函数。一般把h成为f和g的桥函数。

或者说，如何判断f和g是共轭的？需要满足什么条件，才能使得f和g共轭？

虚心求虐。

Answer 1

要找到所有的桥函数h(x)，使得f(x)=h(-1)ººgºh(x)，我们可以按照以下步骤进行：

计算f(x)和g(x)的反函数，即f⁻¹(x)=(x+1)/x，g⁻¹(x)=(x-1)/x。
将f⁻¹(x)代入h(-1)ººgºh(x)，得到h(-1)ººgºh(f⁻¹(x))=f(f⁻¹(x))=x。
由于g(x)的反函数g⁻¹(x)是f(x)的反函数f⁻¹(x)的倒数，即g⁻¹(x)=1/f⁻¹(x)，因此将g⁻¹(x)代入上式得到h(-1)ºº(1/f⁻¹(x))ºh(x)=x。
将h(x)表示为p/f⁻¹(x)+q，其中p和q是常数，代入上式得到h(-1)ºº(1/f⁻¹(x))º(p/f⁻¹(x)+q)=x。
将x=-1代入上式得到h(-1)ºº(1/f⁻¹(-1))º(p/f⁻¹(-1)+q)=-1，即h(-1)ºº(1/0)ºq=-1。
由于1/0不存在，因此q必须为0，即h(x)=p/f⁻¹(x)。代入上式可得到p=-1，因此h(x)=-f⁻¹(x)。
因此，f(x)和g(x)的桥函数为h(x)=-f⁻¹(x)=-x/(x+1)。

对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们存在共轭函数h(x)，满足f(h(x))和g(h(x))的导数相差一个非零常数，即f'(h(x))=k·g'(h(x))，其中k是非零常数，那么我们可以称它们为共轭函数。如果f(x)和g(x)的定义域和值域都是实数集合，且f(x)和g(x)都是严格单调函数，那么它们一定存在共轭函数。如果f(x)和g(x)不是严格单调函数，那么它们可能不存在共轭函数。