高数{(x,y)|x不等于0,y不等于0}为什么不是区域?（连通的开集称为区域）

Question

如果是x轴与y轴不属于集合，将平面分为四个部分。如(1,1)与(1,-1)被x轴隔开不能被直线相连
那为什么y＞x的平方 就属于区域呢，它也是被y轴隔开了啊？

Answer 1

在数学中，一个集合被称为区域，如果它是一个连通的开集。现在我们来看一下为什么高数中的集合 {(x,y) | x≠0, y≠0} 不是一个区域。

首先，这个集合不是一个开集，因为对于任何点 (x,y) ∈ {(x,y) | x≠0, y≠0}，我们不能找到一个邻域 V 使得 V 中的所有点都属于该集合。例如，对于点 (1,1) 和 (1,-1)，我们不能找到一个邻域 V 使得 V 中的所有点都在该集合中。因此，该集合不是一个开集。

另外，该集合不是一个连通集。为了说明这一点，我们可以找到两个开集 A = {(x,y) | y > 0} 和 B = {(x,y) | y < 0}，它们都与 {(x,y) | x≠0, y≠0} 的交集非空，且它们的并集为整个集合。因此，该集合不是连通的。

而对于集合 y > x^2，我们可以证明它是一个区域。首先，它是一个开集，因为对于任何点 (x,y) ∈ y > x^2，我们都可以找到一个邻域 V 使得 V 中的所有点都在该集合中。例如，我们可以取 V 为以点 (x,y) 为中心，以 y - x^2 为半径的圆形邻域。这样的话，V 中所有点的纵坐标都大于 x^2，因此它们都在该集合中。

其次，我们可以证明该集合是连通的。为了说明这一点，我们可以找到一个连续的函数 f(x) = x^2 + 1，它的值域是 y > 1。因此，任何两个点 (x1, f(x1)) 和 (x2, f(x2)) 都可以通过该函数连续地相连。因此，该集合是连通的。

因此，高数中的集合 {(x,y) | x≠0, y≠0} 不是一个区域，而集合 y > x^2 是一个区域。