蓝桥杯 历届试题 公式求值 （想了很久了，想不明白，才来请教的，麻烦各位了）

Question

问题描述
　　输入n, m, k，输出下面公式的值。

　　其中C_n^m是组合数，表示在n个人的集合中选出m个人组成一个集合的方案数。组合数的计算公式如下。

输入格式
　　输入的第一行包含一个整数n；第二行包含一个整数m，第三行包含一个整数k。
输出格式
　　计算上面公式的值，由于答案非常大，请输出这个值除以999101的余数。
样例输入
3
1
3
样例输出
162
样例输入
20
10
10
样例输出
359316
数据规模和约定
　　对于10%的数据，n≤10，k≤3；
　　对于20%的数据，n≤20，k≤3；
　　对于30%的数据，n≤1000，k≤5；
　　对于40%的数据，n≤10^7，k≤10；
　　对于60%的数据，n≤10^15，k ≤100；
　　对于70%的数据，n≤10^100，k≤200；
　　对于80%的数据，n≤10^500，k ≤500；
　　对于100%的数据，n在十进制下不超过1000位，即1≤n<10^1000，1≤k≤1000，同时0≤m≤n，k≤n。
提示
　　999101是一个质数；
　　当n位数比较多时，绝大多数情况下答案都是0，但评测的时候会选取一些答案不是0的数据；

我写的代码如下：

#include
using namespace std;

unsigned long long factorial(unsigned long long f)
{
unsigned long long sum=1;
while(f>1)
{
sum=sum*f;
f--;
}
return sum;
}
unsigned long long power(unsigned long long a,unsigned long long b)
{
unsigned long long sum=1;
while(b>0)
{
sum=sum*a;
b--;
}

return sum;
}

int main()
{
unsigned long long n,m,k;
unsigned long long i=1;
unsigned long long C1=0,C2=0,C3=0;
unsigned long long sum=0;

cin >>n>>m>>k;

C2=factorial(n)/(factorial(m)*factorial(n-m));  //求C_n^m

for(i=1;i<=n;i++)
{
    C1=factorial(n)/(factorial(i)*factorial(n-i));  //求C_n^i
    C3=power(i,k);  //求i^k 
    sum=sum+C1*C2*C3;       
}   
cout<<sum<<endl;
cout<<sum%999101<<endl;
return 0; 

}
这是蓝桥杯的OJ地址：
http://lx.lanqiao.org/problem.page?gpid=T43
应该要注册才能用吧，谢谢各位大牛了。

Answer 1

这个题有些复杂，我也没做过，但有些思路可以供你参考。
这题涉及大组合数取模的问题。从你的代码来看，你没有使用高精度，即使代码完全正确，最多也只能过20%的数据（即n <= 20的数据）。再大的数据，long long类型根本存不下。
由于题目中n最多有可能达到1000位十进制整数（long long类型只有20位而已），即10^1000，所以不可能采用逐个计算组合数，求和之后再对999801取余数的方法，否则时间和空间上都承受不了。
可以尝试从以下几个角度考虑：
1. 高精度计算是肯定需要的，例如n是一个1000位十进制整数，要计算它除以999101的余数，这个代码就必须使用高精度计算。
2. 数论中一些简单的同余性质，例如，(a * b) % p == ((a % p) * (b % p)) % p（答案似乎没法敲公式，就用代码表达一下吧……），有了这个性质，计算a和b乘积对p取余的值，如果a和b乘积超过了你的存储范围，那就可以把a和b分别对p取余，然后把余数相乘，再对p取余。这样的性质可以辅助你降低时间和空间上的复杂度。
3. 最后大组合数取模，可以考虑用Lucas定理来计算，这是在组合数取模中相当常用的定理。
以上是我的一些想法，仅供参考。也期待有大牛能给出更好的解答^_^