m0_59691451 2021-06-25 17:14 采纳率: 0%
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谁会这个 望大家请教 拜托

 

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  • ssst、 2024-03-12 23:10
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    因为这里回答你没法直接插入公式,只能用图片跟你讲了。

    第一题

    表示函数 f(x) 与频谱 X(f) 之间关系的逆傅里叶变换公式是:

    img

    其中:

    • f(x)是时域信号
    • X(f)是频域信号,也就是f(x)的傅里叶变换
    • e^j2πfx是复指数函数,其中j是虚数单位,满足j^2=-1
    • df是积分中的微分元
    • 积分的范围就是负无穷大到正无穷大,涵盖所有频率

    第二题

    信号x(t)的频谱为X(f),根据傅里叶变换的时移性质,信号x(t-t0)的频谱X'(f)可以通过在院士频谱X(f)上乘一个相位因子来得到。这个相位因子是一个复指数函数,表示为e^-j2πft0,其中j是虚数单位,t0是时移量。
    因此,信号x(t-t0)的频谱X'(f)为:

    img

    这个公式说明,时域中的时移对应于频域中的相位变化。如果 t0 是正数,则在频谱中会看到一个向左的相位旋转(对应于时域信号向右移动);如果 t0 是负数,则会看到向右的相位旋转(对应于时域信号向左移动)。

    第三题

    如果信号 x(t) 的频谱为 X(f) ,那么频谱 X(f) 对应的信号是原始信号 x(t) 本身。在傅里叶变换中,时域信号 x(t) 和其频谱 X(f) 是互为变换对的关系。傅里叶变换将时域信号转换为频域信号,而傅里叶逆变换将频域信号转换回时域信号。

    具体来说,X(f)是x(t)的傅里叶变换,表示为:

    img

    而x(t)是X(f)的傅里叶逆变换,表示为:

    img

    这里的e^j2πft和e^-j2πft分别是傅里叶变换和逆变换中的复指数核函数,其中j是虚数单位,f是频率变量,t是时间变量。

    第四题

    奈奎斯特定理指出,如果一个信号包含的最高频率成分是fmax,那么为了能够无失真地重建这个信号,采样频率fs必须至少是信号最高频率的两倍,即:

    img

    第五题

    对于离散信号x(nΔ),其频谱XΔ(f)通常是通过离散时间傅里叶变换来定义的。

    如果我们用Δ表示采样间隔,那么采样频率fs就是其倒数,即

    img

    离散信号x(n)的离散时间傅里叶变换XΔ(f)定义为:

    img

    其中:

    • XΔ(f)是离散信号x(nΔ)的频谱
    • x(nΔ)是以采样间隔Δ采样的离散时间信号。
    • e^j2πfnΔ是复指数函数,其中j是虚数单位,满足j^2=-1,f是频率变量
    • 积分范围是从负无穷大到正无穷大,涵盖所有离散时间点。

    在这个表达式中,n是整数,表示离散时间点的索引。由于Δ是采样间隔,所以nΔ实际上是连续时间t在采样点的对应值。因此,XΔ(f)描述了离散信号在频域的连续分布。

    第六题

    当一个离散信号 x(nΔ) 经过重抽样,其采样间隔从 Δ 变为 Δ1=mΔ(m 是一个整数),其频谱 XΔ1(f) 与原始频谱 XΔ(f) 之间的关系可以简化为:

    img

    这意味着重抽样后的频谱是原始频谱的一个压缩版本,频率轴上的点被压缩了 m 倍。这种压缩是由于采样频率的改变引起的,采样频率从 Δ 分之一变为:

    img

    ​这个关系只在满足奈奎斯特定理的情况下成立,即原始信号的带宽必须小于 2Δ 分之一以避免混叠现象。

    第七题

    根据傅里叶变换的性质,原始信号 x(t) 的频谱 X(f) 与用来滤波的频谱 H(f) 所对应的时间函数 h(t) 之间的关系是,滤波后的频谱 Y(f) 可以通过原始频谱 X(f) 与滤波频谱 H(f) 的乘积来得到:

    img

    第八题

    对于离散信号 x[n] 和其对应的频谱 X(k),以及滤波器 h[n] 和其对应的频谱 H(k),离散信号的频率域滤波公式可以表示为:

    img

    这里的 Y(k) 是滤波后的频谱。

    然而,由于直接在频率域进行乘法可能会导致频谱混叠,通常会使用频率域的卷积定理,它指出离散时间信号的DFT与其时域卷积对应:

    img

    这里的 e^−j2πnk/N是由于直接在频率域乘法而引入的相位因子。

    为了从滤波后的DFT Y(k) 重构时域信号 y[n],我们使用DFT的逆变换,即逆离散傅里叶变换(IDFT):

    img

    这样,我们就可以得到滤波后的时域信号 y[n]。

    第九题

    img

    这里:

    • E 是信号 x[n] 的能量。
    • ∣x[n]∣ 是信号 x[n] 的绝对值。
    • X(f) 是信号 x[n] 的傅里叶变换。
    • ∣X(f)∣ 是频谱 X(f) 的绝对值。
    • df 是积分中的微分元。

    第十题

    离散信号 y[n] 的 Z 变换表示为 Y(Z),那么 y[−n] 的 Z 变换可以通过 Z 变换的位移性质来求得。

    Z 变换的位移性质指出,如果将一个序列向后移动 k 个单位,那么其 Z 变换将会乘以 Z −k。对于 y[−n] 来说,它相当于将 y[n] 向后移动了 n 个单位,因此在 Z 域中,y[−n] 的 Z 变换 Y −n(Z) 将会是 Y(Z) 乘以 Z−n :

    img

    这里 Y −n(Z) 表示 y[−n] 的 Z 变换。


    希望能帮助到你,谢谢。

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