特征数为0的环有无限多个元素吗？

Question

若环R的特征数chR=0，则R有无限多个元素？

Answer 1

如果一个环R的特征数chR=0，则如果其存在单位元1，那么R中必须存在无突变定点的自同构（即1是唯一的）。由于R是环，所以其必定是一个可除环（若无零因子则为整环）。

对于一个可除环R，如果其含有无限多个元素，则必定存在至少一个素元素p（即除了0和1之外，没有其它的元素a满足a=pq，其中q为R中的任意元素）。对于R中的任意一个非零元素x，我们可以将其表示为x = p^m * q，其中m为非负整数，q为不含有素元素p的元素。可以证明，元素p的指数m的范围是整个整数集Z，即可以取负数，因此R中存在无限多个元素。因此，如果一个环R的特征数chR=0，那么R不一定有无限多个元素，具体要看R本身。