无限项相乘求极限为什么能拆开？

Question

无限项相加不能用四则运算把它们拆开分别相加，
n属于自然数集
n-->无穷大，(1/n+1/n+1/n+...+1/n+...)-->0这是错的
但为什么无限项相乘可以用四则运算把它们拆开算极限？

谢谢您的回答~

Answer 1

该回答引用GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ
在数学中，无限项相乘的求和与无限项相加的求和是有本质区别的。

对于无限项相加，一般来说我们没有简单的方法将其拆开，因为每一项都会对结果产生影响，而且无限项的加法不满足交换律和结合律等基本运算律，所以不能直接拆开。

但是对于无限项相乘，情况不同。在有些情况下，我们可以将无限项相乘的式子拆成更简单的形式，并且这个拆分过程是可以合理进行的。例如，如果我们有一个形如：

(1 + 1/2) × (1 + 1/3) × (1 + 1/4) × … × (1 + 1/n) × …

的无限项相乘式子，我们可以把它拆分为两个部分：

[(1 + 1/2) × (1 + 1/4) × (1 + 1/6) × …] × [(1 + 1/3) × (1 + 1/5) × (1 + 1/7) × …]

我们发现，上面的两个括号内的式子都是无限项相乘，但每个式子内部的项数是有限的，因为括号内的分母随着项数增加而增加，所以每一项都趋近于零，最终无限项相乘的结果也就是这两个式子相乘的结果。

在这个例子中，我们把原式拆成两个式子，并利用了无限项相乘的结合律，把无穷多项变成了有穷多项，从而使得运算变得可行。但需要注意的是，并非所有的无限项相乘都能这样拆分，而且有些情况下即使能拆分，也需要一定的技巧才能进行。