C语言中，整数和实数在内存中的存放形式是怎么样的？它们相同吗？

Question

C语言中，整数和实数在内存中的存放形式是怎么样的？它们相同吗？

Answer 1

一、整数的存储 - 补码

1、补码

[^_^]:
* 为了解决正负零的问题，引入了补码。

1）定义

【定义】 正数 的 补码 就是它的 原码；负数 的 补码 为 它的反码加一；

2）举例

• 1）对于十进制数 37，它的 真值 和 补码 关系如下：

  真值：+ 00000000 00000000 00000000 00100101
  补码：  00000000 00000000 00000000 00100101
  

• 2）对于十进制数 -37，它的 真值 和 反码 的关系如下：

  真值：- 00000000 00000000 00000000 00100101
  补码：  11111111 11111111 11111111 11011011
  

• 我们发现，对于负数的情况，反码 减去 真值（注意，这里真值为负数）后，负负得正，转换成二进制位相加正好等于 $1(\underbrace{0...0}_{32})_2$， 即 $2^{32}$，表示成公式如下：$$ [x]_补 - x = 2^{32}$$

  3）公式

• 因此，通过移项，我们可以得出补码的十进制计算公式如下：

  $$ [x]_补 = \begin{cases} x & (0 \le x < 2^{n-1})\ 2^{n} + x & (-2^{n-1} \le x < 0) \end{cases} $$   这里 $x$ 代表真值，而 $n$ 的取值是 $8、16、32、64$，我们通常说的整型int都是 32位 的，本文就以 $n = 32$ 的情况进行阐述；

  4、编码总结

  对于三种编码方式，总结如下：
    1）这三种机器数的最高位均为符号位；
    2）当真值为正数时，原码、反码、补码的表示形式相同，符号位用 "0" 表示，数值部分真值相同；
    3）当真值为负数时，原码、反码、补码的表示形式不同，但是符号位都用 "1" 表示，数值部分：反码是原码的 "按位取反"，补码是反码加一；

正数

真值：+ 00000000 00000000 00000000 00100101
原码：  00000000 00000000 00000000 00100101
反码：  00000000 00000000 00000000 00100101
补码：  00000000 00000000 00000000 00100101

负数

真值：- 00000000 00000000 00000000 00100101
原码：  10000000 00000000 00000000 00100101
反码：  11111111 11111111 11111111 11011010
补码：  11111111 11111111 11111111 11011011

六、为什么要引入补码

• 最后，我们来讲一下引入补码的真实意图是什么。

  1、主要目的

• 计算机的四则运算希望设计的尽量简单。但是引入 符号位 的概念，对于计算机来说还要考虑正负数相加，等于引入了减法，所以希望是计算机底层 只设计一个加法器，就能把加法和减法都做了。

2、原码运算

• 对于原码的加法，两个正数相加的情况如下：
  ```c

+1 的原码：00000000 00000000 00000000 00000001
+1 的原码：00000000 00000000 00000000 00000001

---

+2 的原码：00000000 00000000 00000000 00000010

* 好像没有什么问题？于是人们开始探索减法，但是起初设计的人的初衷是希望不用减法，只用加法运算就能够将加法和减法都包含进来，于是，我们尝试用原码的负数表示来做运算；
* 将 ```1 - 2```表示成```1 + (-2)```，然后用原码相加得到：
```c
+1 的原码：00000000 00000000 00000000 00000001
-2 的原码：10000000 00000000 00000000 00000010
----------------------------------------------
-3 的原码：10000000 00000000 00000000 00000011

• 我们发现1 + (-2) = -3，计算结果明显是错的，所以为了解决减法问题，引入了反码；

  3、反码运算

• 对于正数的加法，两个正数反码相加的情况和原码相加一致，不会有问题。
• 对于正数的减法，转换成一正一负两数相加。
• 将 1 - 2表示成1 + (-2)，情况如下：
  ```c

+1 的反码：00000000 00000000 00000000 00000001
-2 的反码：11111111 11111111 11111111 11111101

---

-1 的反码：11111111 11111111 11111111 11111110

* 没有什么问题？但是某种情况下，反码会有歧义，当两个相同的数相减时，即```1 - 1```表示成```1 + (-1)```，情况 如下：
```c
+1 的反码：00000000 00000000 00000000 00000001
-1 的反码：11111111 11111111 11111111 11111110
---------------------------------------------
-0 的反码：11111111 11111111 11111111 11111111

• 这里出现了一个奇怪的概念，就是 "负零"，反码运算过程中会出现有两个编码表示零这个数值。
• 为了解决正负零的问题引入了补码的概念。

  4、补码运算

  1）两个正数的补码相加。

• 其和等于 它们的原码相加，已经验证过，不会有问题；

  2）一正一负两个数相加，且 答案非零 。
  ```c

+1 的补码：00000000 00000000 00000000 00000001
-2 的补码：11111111 11111111 11111111 11111110

---

-1 的补码：11111111 11111111 11111111 11111111

* 结果正确；
> 3）一正一负两个数相加，且 **答案为零**。
```c
+1 的补码   00000000 00000000 00000000 00000001
-1 的补码： 11111111 11111111 11111111 11111111
---------------------------------------------- 
0 的补码：1 00000000 00000000 00000000 00000000

• 两个互为相反数的数相加后，得到的数的补码为 $2^n$（可以认为是是溢出了），所以那个 1 根本不会被存进计算机中，也就是表现出来的结果就是 零！
• 而且，补码的这个运算，和我们之前提到的定义吻合。
• 综上所述，补码解决了整数加法带来的所有问题。

二、浮点数的存储

1、科学计数法

• C语言中，浮点数在内存中是以科学计数法进行存储的，科学计数法是一种指数表示，数学中常见的科学计数法是基于十进制的，例如 $5.2 × 10^{11}$；计算机中的科学计数法可以基于其它进制，例如 $1.11 × 2^7$ 就是基于二进制的，它等价于 $(11100000)_2$。
• 科学计数法的一般形式如下：
• $$value = (-1)^{sign} \times fraction \times base^{exponent}$$

    $value$：代表要表示的浮点数；
    $sign$：代表 $value$ 的正负号，它的取值只能是 0 或 1：取值为 0 是正数，取值为 1 是负数；
    $base$：代表基数，或者说进制，它的取值大于等于 2；
    $fraction$：代表尾数，或者说精度，是 $base$ 进制的小数，并且 $1 \le fraction \lt base$，这意味着，小数点前面只能有一位数字；
    $exponent$：代表指数，是一个整数，可正可负，并且为了直观一般采用 十进制 表示。

1）十进制的科学计数法

• 以 $14.375$ 这个小数为例，根据初中学过的知识，想要把它转换成科学计数法，只要移动小数点的位置。如果小数点左移一位，则指数 $exponent$ 加一；如果小数点右移一位，则指数 $exponent$ 减一；
• 所以它在十进制下的科学计数法，根据上述公式，计算结果为：
• $$(14.375)_{10} = 1.4375 \times 10^1$$
• 其中 $value = 14.375$、$sign = 0$、$base = 10$、$fraction = 1.4375$、$exponent = 1$；
• 这是我们数学中最常见的科学计数法。

  2）二进制的科学计数法

• 同样以 $14.375$ 这个小数为例，我们将它转换成二进制，按照两部分进行转换：整数部分和小数部分。
• 整数部分：整数部分等于 14，不断除 2 取余数，转换成 2 的幂的求和如下：
• $$(14)_{10} = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0$$
• 所以 14 的二进制表示为 $(1110)_2$。
• 小数部分：小数部分等于 0.375，不断乘 2 取整数部分的值，转换成 2 的幂的求和如下：
• $$(0.375)_{10} = 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} +1 \times 2^{-3}$$
• 所以 0.375 的二进制表示为 $(0.011)_2$
• 将 整数部分 和 小数部分 相加，得到的就是它的二进制表示：
• $$(1110.011)_2$$
• 同样，我们参考十进制科学计数法的表示方式，通过移动小数点的位置，将它表示成二进制的科学计数法，对于这个数，我们需要将它的小数点左移三位。得到：
• $$(1110.011)_2 = (1.110011)_2 \times 2^3$$
• 其中 $value = 14.375$、$sign = 0$、$base = 2$、$fraction = (1.110011)_2$、$exponent = 3$；
• 我们发现，为了表示成科学计数法，小数点的位置发生了浮动，这就是浮点数的由来。

2、浮点数存储概述

• 计算机中的浮点数表示都是采用二进制的。上面的科学计数法公式中，除了 $base$ 确定是 2 以外，符号位 $sign$、尾数位 $fraction$、指数位 $exponent$ 都是未知数，都需要在内存中体现出来。还是以 $14.375$ 为例，我们来看下它的几个关键数值的存储。

  1）符号的存储

• 符号位的存储类似存储整型一样，单独分配出一个比特位来，用 0 表示正数，1 表示负数。对于 $14.375$，符号位的值是 0。

  2）尾数的存储

• 根据科学计数法的定义，尾数部分的取值范围为 $$1 \le fraction \lt 2$$
• 这代表尾数的整数部分一定为 1，是一个恒定的值，这样就无需在内存中提现出来，可以将其直接截掉，只要把小数点后面的二进制数字放入内存中即可，这个设计可真是省（扣）啊。
• 对于 $(1.110011)_2$，就是把110011放入内存。我们将内存中存储的尾数命名为 $f$，真正的尾数命名为 $fraction$，则么它们之间的关系为： $$fraction = 1.f$$
• 这时候，我们就可以发现，如果 $base$ 采用其它进制，那么尾数的整数部分就不是固定的，它有多种取值的可能，以十进制为例，尾数的整数部分可能是 $1 \to 9$ 之间的任何一个值，如此一来，尾数的整数部分就无法省略，必须在内存中表示出来。但是将 $base$ 设置为 2，就可以节省掉一个比特位的内存，这也是采用二进制的优势。

  3）指数的存储

• 指数是一个整数，并且有正负之分，不但需要存储它的值，还得能区分出正负号来。所以存储时需要考虑到这些。
• 那么它是参照补码的形式来存储的吗？
• 答案是否。
• 指数的存储方式遵循如下步骤：
• 1）由于float和double分配给指数位的比特位不同，所以需要分情况讨论；
• 2）假设分配给指数的位数为 $n$ 个比特位，那么它能够表示的指数的个数就是 $2^n$；
• 3）考虑到指数有正负之分，并且我们希望正负指数的个数尽量平均，所以取一半，$2^{n-1}$ 表示负数，$2^{n-1}$ 表示正数。
• 4）但是，我们发现还有一个 0，需要表示，所以负数的表示范围将就一点，就少了一个数；
• 5）于是，如果原本的指数位 $x$，实际存储到内存的值就是：$$x + 2^{n-1} - 1$$
• 接下来，我们拿具体float和double的实际位数来举例说明实际内存中的存储方式。

3、浮点数存储内存结构

• 浮点数的内存分布主要分成了三部分：符号位、指数位、尾数位。浮点数的类型确定后，每一部分的位数就是固定的。浮点数的类型，是指它是float还是double。
• 对于float类型，内存分布如下：

• 对于double类型，内存分布如下：

---

• 1）符号位：只有两种取值：0 或 1，直接放入内存中；
• 2）指数位：将指数本身的值加上 $2^{n-1}-1$ 转换成 二进制，放入内存中；
• 3）尾数位：将小数部分放入内存中；

浮点数类型	指数位数	指数范围	尾数位数	尾数范围
float	$8$	$[-2^7+1,2^7]$	$23$	$[(0)2, (\underbrace{1...1}{23})_2]$
double	$11$	$[-2^{10}+1,2^{10}]$	$52$	$[(0)2, (\underbrace{1...1}{52})_2]$

4、内存结构验证举例

• 以上文求得的 $14.375$ 为例，我们将它转换成二进制，表示成科学计数法，如下：
• $$(1110.011)_2 = (1.110011)_2 \times 2^3$$
• 其中 值 $value = 14.375$、符号位 $sign = 0$、基数 $base = 2$、尾数 $fraction = (1.110011)_2$、指数 $exponent = 3$；

  1）float 的内存验证

• 为了方便阅读，我采用了颜色来表示数字，橙色代表符号位，蓝色代表指数位，红色代表尾数，绿色代表尾数补齐位；并且 八位一分隔，增强可视化。
• 符号位的内存：0
• 指数的内存（加上127后等于130，再转二进制）：10000010
• 尾数的内存（不足23位补零）：1100110 00000000 00000000
• 按顺序组织到一起后得到：01000001 01100110 00000000 00000000

#include <stdio.h>
int main() {
    int value = 0b01000001011001100000000000000000;  // (1)
    printf("%f\n",  *(float *)(&value) );            // (2)
    return 0;
}

运算结果如下：
  $(1)$ 第一步，就是把上面那串二进制的 01串 直接拷贝下来，然后在前面加上0b前缀，代表了 $value$ 这个四字节的内存结构就是这样的；
  $(2)$ 第二步，分三个小步骤：
   $(2.a)$ &value代表取value这个值的地址；
   $(2.b)$ (float *)&value代表将这个地址转换成float类型；
   $(2.c)$ *(float *)&value代表将这个地址里的值按照float类型解析得到一个float数；

• 运行结果为：
  ```c

14.375000

* （有关取地址和指针相关的内容，由于前面章节还没有涉及，如果读者看不懂，也没有关系，后面在讲解指针时会详细讲解这块内容，敬请期待）。
### 2）double 的内存验证
* 为了方便阅读，我采用了颜色来表示数字，<font color=orange>橙色</font>代表符号位，<font color=blue>蓝色</font>代表指数位，<font color=red>红色</font>代表尾数，<font color=green>绿色</font>代表尾数补齐位；并且 八位一分隔，增强可视化。
* 符号位的内存：<font color=orange>0</font>
* 指数的内存（加上1023后等于1026，再转二进制）：<font color=blue>100 00000010</font>
* 尾数的内存（不足52位补零）：<font color=red>1100 11</font><font color=green>000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000</font>
* 按顺序组织到一起后得到：<font color=orange>0</font><font color=blue>1000000 0010</font><font color=red>1100 11</font><font color=green>000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000</font>
```c
#include <stdio.h>
int main() {
    long long value = 0b0100000000101100110000000000000000000000000000000000000000000000;  // (1)
    printf("%lf\n",  *(double *)(&value) );                            // (2)
    return 0;
}

运算结果如下：
  $(1)$ 第一步，就是把上面那串二进制的 01串 直接拷贝下来，然后在前面加上0b前缀，代表了 $value$ 这个八字节的内存结构就是这样的；
  $(2)$ 第二步，分三个小步骤：
   $(2.a)$ &value代表取value这个值的地址；
   $(2.b)$ (double *)&value代表将这个地址转换成double类型；
   $(2.c)$ *(double *)&value代表将这个地址里的值按照double类型解析得到一个double数；

• 没错，运行结果也是：
  ```c

14.375000

```

• 这块内容，如果你看的有点懵，没有关系，等我们学了指针的内容以后，再来回顾这块内容，你就会如茅塞一样顿开了！
• 你学废了吗？🤣

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