matlab中求椭圆面积

Question

1.椭圆方程7x^2+8xy+7y^2=1,求该椭圆面积
2.研究椭圆一般方程的二次型，看椭圆面积与矩阵的特征值有什么关系？

Answer 1

(1)
方程的表达式可以写为[x,y]*[7, 4; 4,7]*[x,y]' = 1
令A=[7, 4; 4,7];那么对A进行相似对角化有A=PDP'
其中：P= sqrt(2)/2*[-1, 1; 1,1]; D=[3,0; 0,11];
令
[x1,y1]'=P'*[x,y]，那么原来的椭圆方程可以化为标准方程3*x1^2+11*y1^2=1
直接找关系呢，就是长短半轴分别是a=sqrt(3)/3和b=sqrt(11)/11
所以面积是S=pi*a*b=pi*sqrt(33)/33
(2)
一般方程的话，椭圆面积和特征值的关系，假设特征值为lambda1和lambda2，那么面积S=pi*a*b=pi*sqrt(lambda1*lambda2)/(lambda1*lambda2)
希望能够帮到题主，满意还请点个采纳支持答主哦