求N个结点的二叉树所有形态，可以给个思路吗

Question

要求放在图片里面，我的疑惑是在不构建二叉树

的情况下，怎么才能输出正确的序列？

Answer 1

1）先考虑只有一个节点的情形，设此时的形态有f(1)种，那么很明显f(1)=1

（2）如果有两个节点呢？我们很自然想到，应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么，如果固定一个节点后，左右子树的分布情况为1=1+0=0+1，故有f(2) = f(1) + f(1)

（3）如果有三个节点，（我们需要考虑固定两个节点的情况么？当然不，因为当节点数量大于等于2时，无论你如何固定，其形态必然有多种）我们考虑固定一个节点，即根节点。好的，按照这个思路，还剩2个节点，那么左右子树的分布情况为2=2+0=1+1=0+2。
所以有3个节点时，递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2)。(注意这里的乘法，因为左右子树一起组成整棵树，根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

（4）那么有n个节点呢？我们固定一个节点，那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = … = 1 + n-2 = 0 + n-1。此时递归表达式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + … + f(1)f(n-2) + f(n-1)

接下来我们定义没有节点的情况，此时也只有一种情况，即f(0)=1
那么则有:
f(0)=1，f(1)=1
f(2)=f(1)f(0)+f(0)f(1)
f(3)=f(2)f(0)+f(1)f(1)+f(0)f(2)

class Solution:
    def orderMultiply(self, x):
        if x == 0:
            return 1
        else:
            return x * self.orderMultiply(x-1)
    
    def getStateofBinaryTree(self, n):
        if n == 0:
            return
        elif n == 1:
            return 1
        else:
            return self.orderMultiply(2*n) / self.orderMultiply(n) / self.orderMultiply(n+1)
 
n = 3
answer = Solution()
print(answer.getStateofBinaryTree(n)

可以参考下，有帮助的话采纳一下，谢谢！