此不定积分题自己的解法与书上不同，答案也不同。

Question

书上使用倒代换考虑x＜0的时候，直接一笔带过说结果与x＞0相同，可是我用换元法做的答案有两个，与a的正负有关。请问这是什么情况。

Answer 1

根据你提供的三个图片，我们可以看出这是在求解 $y''+4y=e^{2x}$ 这个二阶非齐次线性微分方程的特解。

当使用倒代换法考虑 $x<0$ 时，我们可以令 $x=-t$，其中 $t>0$，然后将 $y$ 和 $y''$ 分别表示为关于 $t$ 的函数，代入方程，最后解出特解。由于 $t>0$，所以在求解过程中不存在除以 $x$ 的问题。因此，当 $x<0$ 时得到的特解和 $x>0$ 时得到的特解是相同的。

而当使用换元法时，我们通常会令 $y=e^{rx}$，然后代入方程解出特征方程，最后根据不同情况分别解出特解。因为这种方法不涉及到对 $x$ 取倒数，所以也不存在除以 $x$ 的问题。

根据你的描述，换元法得到的特解有两个，与 $a$ 的正负有关。这是因为在使用换元法时，我们需要根据特征方程的根的情况分别讨论，而特征方程的根是和系数有关的。因此，当系数发生变化时，特征方程的根也会发生变化，从而导致特解的形式也会发生变化。所以，如果你使用了不同的 $a$ 值，就可能会得到不同的特解。