求解高等代数相关问题解答

Question

设p是素数.令Ql√p〕={a+b√pla,b∈Q}，(其中Q为
数域.
（1）证明：Q[√p]关于数的加法和乘法构成实数域R的一个子域.
（2）问：域Q[√2]和域Q[√3] 是否同构？并给出理由.

Answer 1

基于Monster 组和GPT的调写：
（1）首先，我们需要证明Q[√p]构成一个子域。为此，需要验证以下三个条件：

• Q[√p]中的元素对加法和乘法封闭。
  对于任意的a+b√p和c+d√p，它们的和为：

(a+b√p) + (c+d√p) = (a+c) + (b+d)√p

• 它们的积为：

(a+b√p) × (c+d√p) = ac + ad√p + bc√p + bdp
= (ac+bdp) + (ad+bc)√p

• 由此可见，它们的和与积仍然是Q[√p]中的元素，因此Q[√p]对加法和乘法封闭。

• Q[√p]中存在加法和乘法的单位元。
  加法单位元为0，乘法单位元为1。它们都属于Q[√p]。

• Q[√p]中的元素都有加法和乘法的逆元。

设a+b√p属于Q[√p]，其中a和b都是有理数。则它的加法逆元为：

-(a+b√p) = (-a)+(-b)√p

它的乘法逆元为：

1/(a+b√p) = (a-b√p)/(a^2-bp)

由此可见，Q[√p]中的元素都有加法和乘法的逆元，因此Q[√p]是一个子域。

• 接下来，我们需要证明Q[√p]是实数域R的一个子域。实数域R是由所有实数构成的一个域，因此需要验证Q[√p]满足以下两个条件：

• Q[√p]中的元素都是实数。

设a+b√p属于Q[√p]，其中a和b都是有理数。由于p是素数，因此√p是无理数，因此a+b√p既是有理数又是无理数，因此它是一个实数。

• Q[√p]对实数的加法和乘法封闭。
  由于Q[√p]对有理数的加法和乘法封闭，因此Q[√p]对实数的加法和乘法也封闭。

综上所述，Q[√p]关于数的加法和乘法构成实数域R的一个子域。
（2）：

• 两个域Q[√2]和Q[√3]不同构。

为了说明这一点，我们可以采用反证法。假设存在一个同构映射f：Q[√2]→Q[√3]，满足f(a+b√2) = c+d√3，其中a,b,c,d∈Q。

• 考虑特殊情况下的元素√2和√3。由于同构映射保持加法和乘法，因此有：

f(√2) = f(1) × f(√2) = f(1+1) = f(2) = e+f√3
f(√3) = f(1) × f(√3) = f(1+1+1) = f(3) = g+h√3

• 其中e,f,g,h∈Q。由于f是双射，因此e和g是唯一确定的。

考虑f(√2)的平方：

f(√2)² = f(2) = e+f√3

• 由于f保持乘法，因此有：

f(√2)² = f(√2) × f(√2) = (c+d√3) × (c+d√3) = (c²+3d²) + 2cd√3

• 由此可见，有：

e+f√3 = (c²+3d²) + 2cd√3

• 因此，实部和虚部必须分别相等，即：

e = c²+3d²
f = 2cd

• 同理，考虑f(√3)的平方：

f(√3)² = f(3) = g+h√3

有：

g+h√3 = (e²+2ef√3+3f²) + (2ef+6fh)√3

• 因此，又得到实部和虚部必须分别相等，即：

g = e²+3f²
h = 2ef+3fh

• 然而，由于f是双射，因此存在√2的有理数系数多项式p(x)和q(x)，满足p(√2) = 0，且q(√2)≠0。因此有：

f(p(√2)) = f(0) = 0
f(q(√2)) ≠ 0

• 同理，存在√3的有理数系数多项式r(x)和s(x)，满足r(√3) = 0，且s(√3)≠0。因此有：

f(r(√3)) = f(0) = 0
f(s(√3)) ≠ 0

• 然而，考虑多项式q(x)和s(x)在f上的像：

f(q(√2)) ≠ 0
f(s(√3)) ≠ 0

• 这意味着f不是一个环同态，因此矛盾。

• 因此，域Q[√2]和域Q[√3]不同构。