离散数学同态映射求余函数

Question

看不懂例13.2.5的证明过程中f(a+b)这一步骤，求解答。

Answer 1

这道题的证明过程中，涉及到了同余运算(modulo operation)的性质。

在同余运算中，如果a≡b(mod m)，则a和b在模m下同余，也就是说，a和b除以m所得到的余数相同。例如，10≡4(mod 3)，因为10和4在模3下都余1。

现在我们来看例13.2.5的证明过程：

(1) 要证明f是从半群<N,+>到<6,+6>的同态映射，需要证明对于任意的a、b∈N，都有f(a+b) = f(a)+f(b)。

根据f的定义，f(x) = x(mod 6)，因此，f(a+b) = (a+b)(mod 6)。我们知道，(a+b)(mod 6)等于(a(mod 6)+b(mod 6))(mod 6)。因为模运算有结合律，所以(a(mod 6)+b(mod 6))(mod 6) = a(mod 6)+(b(mod 6))(mod 6) = a(mod 6)+b(mod 6)。

所以，f(a+b) = (a+b)(mod 6) = a(mod 6)+b(mod 6) = f(a)+f(b)。因此，f是从半群<N,+>到<6,+6>的同态映射。

(2) 要证明f是从含有幺元0的半群<N,+,0>到<6,+6,0>的同态映射，需要证明f(0) = 0。

由f的定义可知，f(0) = 0(mod 6)。因此，f(0) = 0。

综上所述，f是从含有幺元0的半群<N,+,0>到<6,+6,0>的同态映射。同时，根据同态映射的性质，如果f是从半群<A,>到半群<B,>的同态映射，那么如果<A,>是半群，则<B,>也是半群；如果<A,>是含有幺元的半群，则<B,>也是含有幺元的半群。

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