R 牛顿商及参数传递求解

Question

4. The derivative of a function $f(x)$ at $x$ can be approximated by the Newton's quotient
$$\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2 * h},$$
where $h$ is a small number. Write a function to calculate the Newton's quotient for the function $f(x) = \exp(x)$. The function should take two scalar arguments, $x$ and $h$. Use a default value of $h = 1e-6$.
f<-function(x,h=1e-6){
  f<-(exp(x+h)-exp(x-h))/(2*h)
  return(f)
}
f(1)
exp(1)
f(1)-exp(1)
Test your function at the point $x=1$ using the default value of $h$, and compare to the true value of the derivative $f'(1) = e^1$.
5. A very useful feature in R is the ability to pass a function name as an argument.
Here is an example, where 2 is added to the value of a function, for three different functions $\exp(x)$, $\log(x)$, and $\sin(x)$, at selected points $x$.
test <- function(x, f) {
  output <- f(x) + 2
  return(output)
}
test(0, exp)
test(1, log)
test(0, sin)
test(pi/2,sin)
Modify your function from problem 4 so that you pass in the name of the function for which you want to approximate the derivative. Use the same default value for $h$, and approximate the derivative of $sin(x)$ at $x=\pi/4$, of $\log(x)$ at $x=2$, and of $\exp(x)$ at $x=1$.

Answer 1

基于Monster 组和GPT的调写：
函数 f(x) 在 x处的导数可以近似地表示为牛顿商

其中 h是一个小的数。编写一个函数来计算函数 f(x) = \exp(x) 的牛顿商。该函数应该接受两个标量参数 x 和 h。使用默认值 h=1e-6。

f <- function(x, h=1e-6) {
  f <- (exp(x+h) - exp(x-h))/(2*h)
  return(f)
}
f(1)
exp(1)
f(1) - exp(1)

用默认值 h 在 x=1 处测试函数，并将其与导数的真实值 f'(1) = e^1 进行比较。

R 中非常有用的一个特性是能够将函数名作为参数传递。以下是一个示例，在选择的点 x 上，对三个不同的函数 \exp(x)，$log(x) 和 \sin(x)的值加上了2。

test <- function(x, f) {
  output <- f(x) + 2
  return(output)
}
test(0, exp)
test(1, log)
test(0, sin)
test(pi/2, sin)

修改问题4中的函数，使其传递要近似导数的函数的名称。使用相同的默认值 $h$，并近似于在 $x=\pi/4 处的 sin(x)，在 x=2 处的 \log(x) 和在 x=1处的 exp(x) 的导数。

f_newton <- function(f, x, h=1e-6) {
  df <- (f(x+h) - f(x-h))/(2*h)
  return(df)
}
f_newton(sin, pi/4)
f_newton(log, 2)
f_newton(exp, 1)