画出递归树求递归表达式的解

Question

画出T（n）＝6T（n/5）×3n^2的递归树 并求解
写出下列函数的渐进表达式 4n^3+7n^2+8
8×2^n+2n^2
5×（1/n）+8n
4log n^4

Answer 1

该回答通过自己思路及引用到GPTᴼᴾᴱᴺᴬᴵ搜索,得到内容具体如下：

1. 画出递归树并求解递归表达式的解：

递归表达式：T(n) = 6T(n/5) + 3n^2

递归树：

        n
        |
   ---n/5---
   |   |   |
 n/25 n/25 n/25
   ... ... ...

递归树的深度为 log5(n)，每层的工作量为 3n^2，因此总的工作量为：

T(n) = 3n^2 * (6^log5(n))
     = 3n^2 * (n^log5(6))
     = 3n^(log5(6) + 2)

因此，递归表达式的解为 T(n) = 3n^(log5(6) + 2)。

2. 写出下列函数的渐进表达式：

a) 4n^3 + 7n^2 + 8

该函数的最高次幂为 n^3，因此渐进表达式为 O(n^3)。

b) 8×2^n + 2n^2

该函数的最高次幂为 2^n，因此渐进表达式为 O(2^n)。

c) 5×(1/n) + 8n

该函数的最高次幂为 n，因此渐进表达式为 O(n)。

d) 4log n^4

该函数可以简化为 4 * 4log n，因此渐进表达式为 O(log n)。

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Answer 2

综合以上问题，解释递归树和递归表达式。递归树是一种展示递归算法运行过程的树形结构，每个节点表示了递归过程的一次调用，其子节点表示递归调用的子问题，直到递归到基本情况。而递归表达式则是将递归算法的运行过程表示为一种数学公式的方式，常用于计算其时间复杂度。举个例子，对于递归表达式T(n) = 6T(n/5) + 3n^2，对应的递归树将会是一棵深度为log5(n)的树，每层都有6个子节点，每个节点的贡献为3n^2。通过计算可以知道，该递归算法的时间复杂度为O(n^2.81)。类似地，对于函数4n^3+7n^2+88×2^n+2n^25×（1/n）+8n4log n^4，可以通过分别计算其每一项的渐进复杂度来得到最终的渐进表达式，即O(n^5)，其中2^n的复杂度最高，随着n的增加，该项将远远超过其他项的影响。