非线性薛定谔方程的四阶紧致差分格式求解过程
要求论述有条理,理论叙述详尽
题主原理已经写出来了,但是通过原理写不出代码,所以想要有一个对比,希望大家帮帮忙
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- 「已注销」 2023-04-19 00:44关注
引用new bing部分回答作答:
非线性薛定谔方程(NLSE)是一个描述波动现象的方程,在物理学和工程学等领域有广泛应用。NLSE 的一般形式为:$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi+g(x)|\psi|^2\psi$
其中,$\psi$ 是波函数,$m$ 是粒子的质量,$V(x)$ 是势能,$g(x)$ 是非线性系数,$|\psi|^2$ 表示波函数的模方。
为了求解 NLSE,我们可以采用紧致差分方法(Compact Difference Method),将偏微分方程转化为差分方程进行求解。这里介绍一种四阶紧致差分格式的求解方法。
假设我们在空间方向上使用均匀网格,网格大小为 $h$,时间步长为 $\Delta t$,则可以将空间坐标 $x$ 和时间 $t$ 分别离散化为 $x_j=jh$ 和 $t_n=n\Delta t$。同时,我们采用中心差分法近似计算偏微分方程中的导数项。
将 NLSE 中的各项代入差分方程中,可以得到如下形式的紧致差分方程:
$i\hbar\frac{\psi_j^{n+1}-\psi_j^n}{\Delta t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{h^2}+V_j\psi_j^n+g_j|\psi_j^n|^2\psi_j^n$
其中,$\psi_j^n$ 表示波函数在位置 $x_j$ 和时间 $t_n$ 的值。
将上述方程进行整理,得到:
$\psi_j^{n+1}=\frac{\Delta t i\hbar}{2m}\frac{\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{h^2}+(\frac{\Delta t i\hbar}{h^2}V_j+1)\psi_j^n+\frac{\Delta t i\hbar g_j}{h^2}|\psi_j^n|^2\psi_j^n$
这个方程是一个离散的迭代公式,可以通过多次迭代计算得到 NLSE 的数值解。下面是用 MATLAB 实现这个算法的示例代码。
% 定义参数 h = 0.1; % 空间步长 dt = 0.001; % 时间步长 x = -10:h:10; % 空间网格 t = 0:dt:1; % 时间网格 m = 1; % 粒子质量 V = 0.5*x.^2; % 势能 g = 1; % 非线性系数 hbar = 1; % 普朗克常数 % 初始化波函数 psi = exp(-x.^2); psi_next = zeros(size(x)); % 迭代计算 for n = 1:length(t)-1 for j = 3:length(x)-2 % 注意边界点的处理 % 计算波函数的一阶和二阶导数 dpsi = (psi(j+1)-psi(j-1))/(2*h); d2psi = (psi(j+1)-2*psi(j)+psi(j-1))/h^2; % 计算新的波函数值 psi_next(j) = psi(j) + dt*1i*hbar/(2*m)*d2psi + ... dt*1i*hbar/(h^2)*V(j)*psi(j) + ... dt*1i*hbar*g/(h^2)*abs(psi(j))^2*psi(j); end % 更新波函数 psi = psi_next; % 将边界点的值设置为零 psi(1:2) = 0; psi(end-1:end) = 0; end % 绘制波函数的时空演化图像 [X, T] = meshgrid(x, t); PsiReal = real(psi).*exp(-1i*hbar/(2*m)*((x-mean(x)).^2)/hbar*n); % 实部 PsiReal = repmat(PsiReal, size(X,1), 1); % 添加这行代码 PsiImag = imag(psi).*exp(-1i*hbar/(2*m)*((x-mean(x)).^2)/hbar*n); % 虚部 PsiImag = repmat(PsiImag, size(X,1), 1); % 添加这行代码 %Z = abs(psi).^2; % 概率密度 Z = repmat(abs(psi).^2, length(t), 1); figure; mesh(X, T, ones(size(X))*max(abs(psi(:))).*Z, 'facecolor','flat'); xlabel('Position'); ylabel('Time'); zlabel('Probability density'); figure; surf(real(X), real(T), real(PsiReal), 'facecolor', 'flat'); xlabel('Position'); ylabel('Time'); zlabel('Real part'); figure; surf(real(X), real(T), real(Z), 'facecolor', 'flat'); xlabel('Position'); ylabel('Time'); zlabel('Imaginary part');
这段代码中,我们使用了两重循环来计算每个时间步长中波函数在所有空间点上的值。其中,内层循环遍历空间网格上的所有内部点,使用中心差分法计算波函数在这些点的一阶和二阶导数,并根据紧致差分格式的公式计算出新的波函数值。外层循环则遍历所有的时间步长,通过多次迭代得到波函数的时空演化图像。
注意到在代码中,我们使用 mesh 函数将波函数的时空演化图像绘制出来,并且将横轴和纵轴分别设为空间坐标和时间。图像的高度表示波函数的概率密度,可以通过调整视角和颜色映射来观察波函数的演化特征。
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