线性代数SVD奇异值分解的解题

Question

线性代数考试的试题，应该是关于SVD分解的，麻烦帮忙解答一下这道线性代数题。

Answer 1

引自强大而免费的微信小程序：皆我百晓生。

1)首先，我们有 U^T * A * V = ∑r ，其中 ∑r 是一个对角矩阵，对角线上的元素为非零实数 σ1, σ2, ..., σr。

对于任意向量 y ，我们可以先将其表示为 Vx 的形式，其中 x 是某个向量。那么我们有

U^T * A * Vx = ∑r * x

根据正交阵 U 的性质，U^T是正交矩阵，它的逆等于它的转置。因此，我们可以将上式两边同时左乘 U ，得到

(U^T * A * V) * x = U^T * ∑r * x

由于 U^T * A * V = ∑r ，上式变为

∑r * x = U^T * ∑r * x

根据对角矩阵的特性，对角线上的元素与矩阵相乘时只会缩放向量的每个分量，而不会改变它们的线性组合关系。因此，∑r * x 与 x 只是一个缩放关系，也可以表示为某个向量。令 w = ∑r * x ，那么有 w = ∑r * x = ∑r * x

所以，我们有 ∑r * x = w

再次回到上面的等式 ∑r * x = U^T * ∑r * x ，我们可以将其变为

∑r * x = U^T * w

由于 U^T 是正交矩阵，所以其逆等于其转置，即 U^T * U = I（单位矩阵）。因此，我们可以将上式左乘 U ，得到

U * ∑r * x = U * U^T * w

由于 U * U^T = I，上式变为

∑r * x = w

所以，对于任意向量 y，当将其表示为 Vx 的形式时，y = Vx 可以由 U （或者说 U^T ）表示。

2)我们要求解 Ax=0 的一组正交基，即要求解 Ax=0 的非零解，并使得这些非零解相互正交。

由于 A = U^T * ∑r * V ，为了求解 Ax=0，我们可以首先将 x 表示为 V^T y 的形式，其中 y 是某个向量。那么 Ax=0 可以变为

A * V^T * y = 0

由于 A = U^T * ∑r * V ，上式可以变为

U^T * ∑r * V * V^T * y = 0

又因为正交阵 V 的性质，V * V^T = I，上式可以变为

U^T * ∑r * y = 0

由于 ∑r 是对角矩阵，对角线上的元素为非零实数，所以上式可以进一步变为

∑r * y = 0

由于 ∑r 是对角矩阵，所以上式等价于

σ1 * y1 = 0
σ2 * y2 = 0
...
σr * yr = 0

由于 σi 是非零实数，上式意味着 y1 = y2 = ... = yr = 0，即 y = 0。

所以，我们得到的解 x = V^T y = V^T 0 = 0 是所有 Ax=0 的解。

综上，求得 Ax=0 的一组正交基为 {0} 。