摊还分析amortized analysis，势能法potential method,动态数组，buffer manag-ment缓冲区管理

Question

Consider the following buffer manag-ment problem. Initially the buffer size (the number of blocks) is one. Each block can accommodate exactly one item. As soon as a new item arrives, check if there is an available block. If yes, put the item into the block, induced a cost of one. Otherwise, the buffer size is doubled, and then the item is able to put into. Moreover, the old items have to be moved into the new buffer so it costs k+1 to make this insertion, where k is the number of old items. Clearly, if there are N items, the worst-case cost for one insertion can be Ω(N). To show that the average cost is O(1), let us turn to the amortized analysis. To simplify the problem, assume that the buffer is full after all the N items are placed. Which of the following potential functions works?

A.The number of items currently in the buffer

B.The opposite number of items currently in the buffer

C.The number of available blocks currently in the buffer

D.The opposite number of available blocks in the buffer

为什么选D
不是应该选C吗，取反之后变成了负数，potential function可以是负的？

问题概述：类似于C++动态数组，用摊还分析势能法。求合适的势能函数。

Answer 1

programmecantrun 上午好☀️☀️☀️️
本答案参考通义千问

选择D的原因：

在势能方法（amortized analysis）中，势能函数（potential function）用于衡量系统状态的变化，并用来“抵消”某些操作的“坏”影响。如果一个操作在最坏情况下导致较大的开销，势能函数应该能够通过其他操作的收益来平衡这部分开销。

在这个缓冲区管理问题中，当新项目到来且没有可用块时，会将缓冲区大小翻倍并移动旧项目。这种操作的开销是线性的（k+1），其中k是旧项目的数量。如果我们选择势能函数C，即当前可用块的数量，那么每次插入新项目时，势能会减少（因为一块被占用了）。然而，这并不能有效抵消线性开销，因为每次插入都可能需要创建大量新的块。

相反，选择势能函数D，即当前可用块的相反数，意味着每次新项目插入时势能会增加。这样，每当缓冲区大小翻倍时，势能会增加一个大的正值，足以抵消线性开销。即使在最坏情况下（所有N个项目后缓冲区满），势能的总增加量也将是O(N)，从而保证了平均成本为O(1)。

总结：

1. 选择D的原因：

   • 势能函数应该能够抵消线性开销。
   • 选择D意味着每次插入新项目时势能增加，有助于平衡翻倍和移动旧项目的大开销。

2. 解决方案：

   • 势能函数： 反对数的可用块数（即 ( -\text{number of available blocks} )）
   • 潜在好处： 这种势能函数可以确保在最坏情况下，势能的增加能够平衡插入操作的线性开销。