最近遇到的一个的数学公式证明

Question

下面的等式如何证明是无解的呢
x1和x2都是未知数，保证不相等，a和b是常数，这四个都是正整数，且x1>=2,x2>=3,a>=1,b>=1

Answer 1

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题目描述： 给定等式： $ a^{x_1} - b^{x_2} = a^{x_2} - b^{x_1}$ 证明：此等式无正整数解，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 均不相等 解题思路：

• 由于 $a$ 和 $b$ 均为正整数，因此考虑对等式两侧取对数。
• 根据对数的性质，可以将原等式转化为：$x_1 \ln a - x_2 \ln b = x_2 \ln a - x_1 \ln b$
• 整理得：$(x_1 + x_2) \ln b = (x_1 + x_2) \ln a$
• 由于 $a$ 和 $b$ 均为正整数且不相等，因此 $\ln a$ 和 $\ln b$ 也不相等，所以 $x_1 + x_2 = 0$，但 $x_1$ 和 $x_2$ 均为正整数，因此原等式无正整数解。 代码实现： 由于此题仅需要利用对数的性质，因此并不需要编写程序进行验证。下面是一份 Python 代码展示如何取对数并求解：

import math
a = 10
b = 5
x1 = 3
x2 = 2
# 原等式
eq1 = pow(a, x1) - pow(b, x2)
eq2 = pow(a, x2) - pow(b, x1)
# 对数等式
log_eq1 = x1 * math.log(a) - x2 * math.log(b)
log_eq2 = x2 * math.log(a) - x1 * math.log(b)
# 打印结果
print(eq1, eq2)
print(log_eq1, log_eq2)