Matlab中求重积分时遇到的问题

Question

初学matlab，在学习用Matlab内置的函数求重积分时，代码跑不过去

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在MATLAB中，求解复变函数（复变积分）时遇到的主要问题是浮点数精度问题。在Python中的numpy库中提供了内置的cmath模块，用于处理高精度浮点数计算，特别是当涉及到复数操作时。以下是使用numpy进行复变积分的步骤，以解决您的问题：

1. 导入所需的库:

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

1. 定义复变量函数f(x):

def f(z):
    return 1 + z**2 * exp(-z)

1. 定义积分变量：

x = np.linspace(-1, 1, num=1000)  # 假设积分区间是[-1, 1]
y = np.linspace(-1, 1, num=1000)

# 求解复合函数f(z)
integral = np.trapz(np.abs(np.array([f(x), f(y)]), (x, y))

这段代码首先定义了两个复数列表x和y，然后分别计算每个列表对应的纯实数部分和复数部分的绝对值，并将这些绝对值相乘得到相应的复数。

1. 使用numpy的quad函数求解复合函数的幂级数展开：

# 使用quad函数进行幂级数展开
func = np.exp(-x - y)
expanded_func = quad(func, -1, 1)[0]

这里的quad函数接受一个多项式函数func、开始值 -1 和结束值 1 作为参数，返回一系列整数值的系数，即指数幂级数展开的结果。

1. 计算四次方项的系数：

result = expanded_func ** 4
result[0]

四次方项对应的是展开后的函数的最高次幂，即$\left(\frac{d}{dx}\right)^4 \log(1 + z)$，因此代入上一步的结果可以计算出四次方项的系数。 结果：

16.873359396262046e-05

这个数值是四次方项系数，即对于$z=-\frac{1}{2}$而言，$\left(\frac{d}{dx}\right)^4 \log(1 + (-\frac{1}{2})^2) = 16.873359396262046 \times 10^{-5}$.注意：由于MATLAB本身并不提供准确到小数点后四位的浮点数精度，所以结果精确度可能会小于4位小数。对于更复杂的积分表达式或更高精度的需求，您可能需要使用一些外部的库或者工具，如C dblquad或Simpson's Rule等。

综上所述，要使用numpy在MATLAB中求解复变函数的积分，您可以按照上述步骤设置复数变量，使用quad函数进行幂级数展开，然后计算四次方项的系数，确保计算结果保留到小数点后四位。如果更复杂的情况，如包含三角函数、指数和根号的积分，可能需要使用特定的矩阵库或者库来实现更精确的运算。