稳定性证明，二重变限积分求导，有个问题不懂

Question

如上图，Vz求导之后，可以得到第二个图片中的式子吗？
具体有疑惑的地方是第二张图片中，等号后第三行式子，

这个求不出来。

Answer 1

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

可以得到第二个图片中的式子。 首先，根据链式法则，可以得到： $$\frac{\partial V_z}{\partial r} = \frac{\partial V_z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial V_z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r}$$ 将$x,y$的表达式代入上式，并对$\frac{\partial V_z}{\partial y}$进行一些简单的变化，可以得到： $$\frac{\partial V_z}{\partial r} = \frac{r}{\sqrt{r^2 + z^2}} \cdot \frac{\partial V_z}{\partial x} + \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \cdot \frac{\partial V_z}{\partial x} + \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}} \cdot \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \cdot \frac{\partial V_z}{\partial y}$$ 进一步整理可得： $$\frac{\partial V_z}{\partial r} = \frac{r}{\sqrt{r^2 + z^2}} \cdot \frac{\partial V_z}{\partial x} - \frac{x z}{(r^2+z^2)^{3/2}} \cdot \frac{\partial V_z}{\partial x} + \frac{x y}{(r^2+z^2)^{3/2}} \cdot \frac{\partial V_z}{\partial y}$$ 这就是第二张图片中的式子。其中，第一项为梯度在极径方向上的分量，第二、三项为梯度在极平面上的分量。