K-means算法如何更新质心？更新质心的过程是如何影响聚类结果的？

Question

K-means算法如何更新质心？更新质心的过程是如何影响聚类结果的？

Answer 1

K-means算法的质心更新是整个聚类过程中的关键步骤，其目的是在每次迭代过程中重新计算各个簇的中心位置，使之更好地代表所属簇内数据点的分布特征。以下是K-means算法更新质心的具体步骤：

1. 初始化：

   • 首先，随机选择K个数据点作为初始质心（或者采用K-means++等更优的初始化方法）。

2. 分配数据点：

   • 对于数据集中每一个未分配类别的数据点，计算其到当前所有质心的距离（通常使用欧氏距离或其他合适的距离度量）。
   • 将每个数据点分配到与其最近的质心所对应的簇。

3. 更新质心：

   • 关键步骤：针对每个已形成的簇，计算簇内所有数据点在各个特征维度上的均值（数学期望），将这些均值作为新的质心坐标。

     • 均值计算公式如下：

       新质心(c_j) = Σ(属于簇j的所有数据点x_i) / 簇j的样本数(n_j)
       

       其中，c_j表示第j个簇的新质心，x_i表示属于簇j的第i个数据点，n_j表示簇j包含的样本数量。

   • 也就是说，对于每个簇，分别对其包含的所有数据点在各个特征维度上的数值求和，然后除以该簇的样本数，得到的就是簇的新质心坐标。这个过程确保新质心位于簇内数据的“重心”，能够较好地反映簇的整体分布。

4. 收敛判断与迭代：

   • 比较本次更新后的质心与上一轮迭代的质心，如果两者之间的差异（如欧式距离或L1距离）小于预定的阈值，或者质心位置的变化很小（表明数据点的簇分配几乎未发生变化），则认为算法已收敛，停止迭代。
   • 如果未达到收敛条件，继续回到“分配数据点”步骤，使用更新后的质心重新分配数据点，再次进行质心更新，如此反复，直至满足收敛条件。

通过以上迭代过程，K-means算法逐步调整质心位置，使得簇内数据点与各自簇质心的距离平方和（即聚类目标函数，即误差平方和SSE）逐渐减小，最终达到或接近局部最优解。这样，每个簇的质心便能够很好地代表该簇内数据点的统计特性，实现数据的聚类划分。