数值计算离散正交多项式

Question

离散正交多项式
施密特正交化方法可以产生离散点上的正交多项式，具体方法见附件。给定n个数据点xi，生成系列正交多项式pk，其中的权。请输出中的Ak。

输入格式：
第一行，整数n，2<n<20
第二行，n个实数，xi，数据之间有空格

输出格式（精确到小数点后3位）：
一行，n个实数，Ak。

输入样例：
3
4.732 2.482 7.485

输出样例：

3.000 12.557 25.493
严格按照输入输出样式

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在您提供的问题中，您希望使用施密特正交化方法根据给定的数据点集生成离散正交多项式，并求出对应的系数 Ak。为了解决这个问题，我们可以遵循以下步骤编写 C++ 代码：

1. 读取输入数据：从标准输入中读取整数 n 和 n 个数据点 xi。

2. 初始化多项式基：构建一个包含 n 个一阶多项式的数组，每个多项式形如 Pk(x) = x^k，其中 k=0,1,...,n-1。

3. 计算内积矩阵：对于每个多项式对 (Pi, Pj)，计算它们在数据点集上的内积 Iij = ∑(Pi(xi) * Pj(xi))，并存储于一个 n×n 的矩阵中。

4. 施密特正交化：对内积矩阵进行施密特正交化过程，得到正交多项式及其对应的归一化系数 Ak。

5. 输出结果：将得到的 n 个 Ak 值输出至标准输出，精确到小数点后 3 位。

以下是实现上述步骤的 C++ 代码：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <vector>
#include <cmath>

// 计算多项式在单个数据点上的值
double evaluatePolynomial(const std::vector<double>& coeffs, double x, int degree) {
    double result = 0.0;
    for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
        result += coeffs[i] * std::pow(x, i);
    }
    return result;
}

// 计算多项式在数据点集上的内积
double innerProduct(const std::vector<double>& coeffs1,
                    const std::vector<double>& coeffs2,
                    const std::vector<double>& dataPoints) {
    double result = 0.0;
    for (const auto& x : dataPoints) {
        double p1_x = evaluatePolynomial(coeffs1, x, coeffs1.size() - 1);
        double p2_x = evaluatePolynomial(coeffs2, x, coeffs2.size() - 1);
        result += p1_x * p2_x;
    }
    return result;
}

// 施密特正交化过程
std::vector<double> schmidtOrthogonalization(const std::vector<std::vector<double>>& dataPoints) {
    int n = dataPoints.size();
    std::vector<double> A(n);

    // 初始化一阶多项式基
    std::vector<std::vector<double>> polynomials(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        polynomials[i].resize(i + 2); // 包含常数项
        polynomials[i][i + 1] = 1.0; // 形如 x^k 的多项式
    }

    // 计算内积矩阵
    std::vector<std::vector<double>> I(n, std::vector<double>(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = i; j < n; ++j) {
            I[i][j] = I[j][i] = innerProduct(polynomials[i], polynomials[j], dataPoints);
        }
    }

    // 施密特正交化
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double normSq = I[i][i];
        if (normSq > 0.0) {
            A[i] = std::sqrt(normSq);
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                double factor = I[j][i] / A[i];
                for (int k = i; k < n; ++k) {
                    I[j][k] -= factor * I[i][k];
                }
            }
        } else {
            A[i] = 0.0; // 遇到零范数时，设置 Ak 为 0
        }
    }

    return A;
}

int main() {
    int n;
    std::cin >> n;

    std::vector<double> dataPoints(n);
    for (auto& x : dataPoints) {
        std::cin >> x;
    }

    std::vector<double> A = schmidtOrthogonalization(dataPoints);

    // 输出结果，精确到小数点后 3 位
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(3);
    for (const auto& a : A) {
        std::cout << a << " ";
    }
    std::cout << std::endl;

    return 0;
}

这段代码实现了您所需的功能，根据输入数据生成离散正交多项式并输出对应的系数 Ak。您可以将其复制粘贴至一个 C++ 编译器中运行，确保输入数据符合您提供的样例格式。如果您在使用过程中遇到任何问题，欢迎继续提问。